2A 张成空间和线性无关性

本节概览

本节是第 2 章的起点，引入线性代数中两个最核心的概念：张成空间（span）和线性无关性（linear independence）。从线性组合的定义出发，建立张成空间理论，然后引入有限维与无限维的区分，最后通过线性相关性引理证明”线性无关组不长于张成组”这一关键定理。

逻辑链条：线性组合 → 张成空间（最小子空间）→ 有限维/无限维 → 线性无关 → 线性相关性引理 → 长度比较定理

前置依赖：1B 向量空间的定义（向量空间八条公理）、1C 子空间（子空间三条件）

核心主线：从”向量的组合方式”到”空间的维度限制”——为基和维数的定义铺路

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一、线性组合与张成空间

定义 2.2 线性组合

$V$ 中向量组 $v_1,\dots ,v_m$ 的线性组合是形如 $a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m$ 的向量，其中 $a_1,\dots ,a_m\in \mathbb{F}$。

例 2.3 ${\mathbb{F}}^3$ 中的线性组合

$(17,-4,2)$ 是 $(2,1,-3),(1,-2,4)$ 的线性组合，因为 $(17,-4,2)=6(2,1,-3)+5(1,-2,4)$

$(17,-4,5)$ 不是它们的线性组合——对应的线性方程组无解。

定义 2.4 张成空间

$V$ 中向量组 $v_1,\dots ,v_m$ 的所有线性组合所构成的集合称为 $v_1,\dots ,v_m$ 的张成空间，记作 $\text{span}(v_1,\dots ,v_m)$： $\text{span}(v_1,\dots ,v_m)=\{a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m:a_1,\dots ,a_m\in \mathbb{F}\}$

定义空向量组的张成空间为 $\{0\}$。

定理 2.6 张成空间是最小包含子空间

$V$ 中向量组的张成空间是最小的包含这向量组中所有向量的 $V$ 的子空间。

证明思路

[三条件验证 + 最小性]：

1. $0=0v_1+\cdots +0v_m\in \text{span}(v_1,\dots ,v_m)$
2. 加法封闭：$(a_1{v}_1+\cdots )+(c_1{v}_1+\cdots )=(a_1+c_1)v_1+\cdots$
3. 标量乘法封闭：$\lambda (a_1{v}_1+\cdots )=\lambda a_1{v}_1+\cdots$

最小性：每个 $v_k$ 都在张成空间中（取 $a_k=1$，其余为 $0$）。反之，任何包含所有 $v_k$ 的子空间对加法和标量乘法封闭，因此必须包含所有线性组合。$■$

定义 2.7 张成

如果 $\text{span}(v_1,\dots ,v_m)=V$，就说 $v_1,\dots ,v_m$ 张成 $V$。

例 2.8 标准基向量张成 ${\mathbb{F}}^n$

$(x_1,\dots ,x_n)=x_1(1,0,\dots ,0)+x_2(0,1,0,\dots ,0)+\cdots +x_n(0,\dots ,0,1)$ 所以 $(1,0,\dots ,0),(0,1,0,\dots ,0),\dots ,(0,\dots ,0,1)$ 张成 ${\mathbb{F}}^n$。

几何直觉

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中：

• 一个非零向量的张成空间 = 过原点的直线
• 两个不共线向量的张成空间 = 整个 ${\mathbb{R}}^2$ 平面
• 两个共线向量的张成空间 = 一条直线（有冗余）

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二、有限维与无限维

定义 2.9 有限维向量空间

如果一个向量空间可由其中某个向量组张成，则称该向量空间是有限维的。

例 2.8 表明 ${\mathbb{F}}^n$ 是有限维的。

定义 2.10 多项式、 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$

对于函数 $p:\mathbb{F}\to \mathbb{F}$，如果存在 $a_0,\dots ,a_m\in \mathbb{F}$ 使得对所有 $z\in \mathbb{F}$ 都有 $p(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_m{z}^m$ 则称 $p$ 为系数在 $\mathbb{F}$ 中的多项式。

$\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 是系数在 $\mathbb{F}$ 中的全体多项式所构成的集合，是 ${\mathbb{F}}^{\mathbb{F}}$ 的子空间。

定义 2.11 多项式的次数

对于 $p\in \mathcal{P}(\mathbb{F})$，如果存在 $a_0,\dots ,a_m\in \mathbb{F}$ 且 $a_m\ne 0$ 使得 $p(z)=a_0+a_{1}z+\cdots +a_m{z}^m$，那么 $p$ 的次数是 $m$，记作 $\mathrm{deg}p$。

规定恒等于 $0$ 的多项式的次数为 $-\infty$。

记号 2.12 ${\mathcal{P}}_m(\mathbb{F})$

${\mathcal{P}}_m(\mathbb{F})$ 表示系数在 $\mathbb{F}$ 中且次数不高于 $m$ 的所有多项式。

${\mathcal{P}}_m(\mathbb{F})=\text{span}(1,z,\dots ,z^m)$，因此==每个 ${\mathcal{P}}_m(\mathbb{F})$ 都是有限维的==。

定义 2.13 无限维向量空间

如果一个向量空间不是有限维的，就称它是无限维的。

例 2.14 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 是无限维的

考虑 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 中的任意一组元素。令 $m$ 表示这组中多项式的最高次数。那么张成空间中每个多项式的次数都不超过 $m$，从而 $z^{m+1}$ 不在张成空间里。因此没有组能张成 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$。

有限维 vs 无限维

	有限维	无限维
定义	可被某个有限向量组张成	不能被任何有限向量组张成
例子	${\mathbb{F}}^n$、${\mathcal{P}}_m(\mathbb{F})$	$\mathcal{P}(\mathbb{F})$、${\mathbb{F}}^{\infty }$、$C[0,1]$
本书重点	✅ 第 2~8 章的核心对象	仅作为对比出现

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三、线性无关性

定义 2.15 线性无关

对于 $V$ 中的向量组 $v_1,\dots ,v_m$，如果使得 $a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m=0$ 成立的 $a_1,\dots ,a_m\in \mathbb{F}$ 的唯一选取方式是 $a_1=\cdots =a_m=0$，那么称该向量组为线性无关的。

规定空向量组 $()$ 也是线性无关的。

线性无关 ⟺ 表示唯一

$v_1,\dots ,v_m$ 线性无关，当且仅当 $\text{span}(v_1,\dots ,v_m)$ 中的每个向量都只能唯一地表示成 $v_1,\dots ,v_m$ 的线性组合。

例 2.16 线性无关组

(a) $(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)$ 在 ${\mathbb{F}}^4$ 中线性无关——令线性组合等于 $0$，逐坐标得 $a_1=a_2=a_3=0$。

(b) $1,z,\dots ,z^m$ 在 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 中线性无关——多项式恒等于零意味着所有系数为零。

(c) 长度为 $1$ 的组线性无关 ⟺ 组中向量不是 $0$。

(d) 长度为 $2$ 的组线性无关 ⟺ 任一向量不是另一个的标量倍。

定义 2.17 线性相关

如果 $V$ 中的一个向量组不是线性无关的，就称它是线性相关的。即存在不全为 $0$ 的 $a_1,\dots ,a_m$ 使得 $a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m=0$。

例 2.18 线性相关组

$(2,3,1),(1,-1,2),(7,3,8)$ 在 ${\mathbb{F}}^3$ 中线性相关，因为 $2(2,3,1)+3(1,-1,2)+(-1)(7,3,8)=(0,0,0)$

线性相关的等价条件

• 向量组中某个向量是其余向量的线性组合 ⟺ 该组线性相关
• 包含 $0$ 的向量组一定线性相关
• 从线性无关组中移除某些向量，余下的仍线性无关

线性相关性引理

定理 2.19 线性相关性引理

设 $v_1,\dots ,v_m$ 是 $V$ 中的线性相关组。那么存在 $k\in \{1,2,\dots ,m\}$ 满足 $v_k\in \text{span}(v_1,\dots ,v_{k-1})$

进而，如果从 $v_1,\dots ,v_m$ 中移除第 $k$ 项，剩余向量组成的向量组的张成空间仍等于 $\text{span}(v_1,\dots ,v_m)$。

证明思路

[取最大下标 + 替换]：

因为线性相关，存在不全为 $0$ 的 $a_1,\dots ,a_m$ 使 $a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m=0$。

[关键步骤：取最大下标]：令 $k$ 是使 $a_k\ne 0$ 的最大者。则 $v_k=-\frac{a_1}{a_k}{v}_1-\cdots -\frac{a_{k-1}}{a_k}{v}_{k-1}$ 这证明了 $v_k\in \text{span}(v_1,\dots ,v_{k-1})$。

[最小性]：将 $v_k$ 替换为上式右端，任何 $\text{span}(v_1,\dots ,v_m)$ 中的向量都可以不用 $v_k$ 表示。$■$

引理的直觉

线性相关性引理说的是：冗余向量中，总有一个可以"追溯到"它前面的向量。这个”前面的”条件很重要——它保证了我们可以按顺序逐步剔除冗余，而不影响张成空间。

例 2.21 引理中 $k$ 的最小值

考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 中的组 $(1,2,3),(6,5,4),(15,16,17),(8,9,7)$。

• $k=1$？需要 $(1,2,3)=0$，不满足。
• $k=2$？需要 $(6,5,4)=c(1,2,3)$，不存在这样的 $c$。
• $k=3$？需要 $(15,16,17)=a(1,2,3)+b(6,5,4)$，解得 $a=3,b=2$。✓

所以 $k=3$ 是满足引理的最小值。

长度比较定理

定理 2.22 线性无关组的长度 ≤ 张成组的长度

在有限维向量空间中，每个线性无关向量组的长度小于或等于每个张成向量组的长度。

证明思路

[逐步替换法（交换引理）]：

设 $u_1,\dots ,u_m$ 线性无关，$w_1,\dots ,w_n$ 张成 $V$。需要证明 $m\le n$。

[步骤 1]：将 $u_1$ 加入 $w_1,\dots ,w_n$ 的开头。因为 $u_1\in V=\text{span}(w_1,\dots ,w_n)$，新组线性相关。由线性相关性引理，可以移除某个 $w$（因为 $u_1\ne 0$，所以移除的不是 $u_1$），新组仍张成 $V$。

[步骤 $k$]：将 $u_k$ 插入 $u_1,\dots ,u_{k-1}$ 之后。因为 $u_1,\dots ,u_k$ 线性无关，被移除的不可能是某个 $u$，所以==每步至少移除一个 $w$==。

经过 $m$ 步后，所有 $u$ 都加入了。每步移除至少一个 $w$，所以 $n\ge m$。$■$

定理 2.22 的重要性

这是整个有限维线性代数的基石之一。它直接蕴含：

• 所有基的长度相等（第 2B 节）
• 维数的定义是良定义的
• $\dim {\mathbb{F}}^n=n$
• 有限维空间中线性无关组不能无限延长

例 2.23/2.24 定理 2.22 的应用

例 2.23：$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ 长度为 $3$ 且张成 ${\mathbb{R}}^3$。所以 ${\mathbb{R}}^3$ 中长度 $>3$ 的组都不是线性无关的。

例 2.24：$(1,0,0,0),\dots ,(0,0,0,1)$ 长度为 $4$ 且在 ${\mathbb{R}}^4$ 中线性无关。所以长度 $<4$ 的组都不能张成 ${\mathbb{R}}^4$。

有限维的子空间

定理 2.25 有限维的子空间

有限维向量空间的每个子空间都是有限维的。

证明思路

[逐步构造线性无关组]：

设 $V$ 有限维，$U$ 是 $V$ 的子空间。

[步骤 1]：若 $U=\{0\}$，完成。否则取非零 $u_1\in U$。

[步骤 $k$]：若 $U=\text{span}(u_1,\dots ,u_{k-1})$，完成。否则取 $u_k\in U\setminus \text{span}(u_1,\dots ,u_{k-1})$。

每步构造出的组都线性无关（由线性相关性引理），而线性无关组不长于 $V$ 的张成组（由定理 2.22）。所以过程终会停止，$U$ 是有限维的。$■$

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四、知识结构总览

graph TD
    A[2A 张成空间和线性无关性] --> B[线性组合与张成空间]
    A --> C[有限维与无限维]
    A --> D[线性无关性]
    B --> B1[定义2.2 线性组合]
    B --> B2[定义2.4 张成空间]
    B --> B3[定理2.6 最小子空间]
    B --> B4[定义2.7 张成动词]
    C --> C1[定义2.9 有限维]
    C --> C2[多项式 P的F次方]
    C --> C3[定义2.13 无限维]
    C --> C4[例2.14 P的F次方无限维]
    D --> D1[定义2.15 线性无关]
    D --> D2[定义2.17 线性相关]
    D --> D3[定理2.19 线性相关性引理]
    D --> D4[定理2.22 长度比较]
    D --> D5[定理2.25 子空间有限维]
    B2 -.-> C1
    C1 -.-> D1
    D3 -.-> D4
    D4 -.-> D5

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五、核心思想与证明技巧

核心思想

1. 张成 = “够不够大”：张成空间回答”这组向量能否覆盖整个空间”。张成是”充分性”的概念。
2. 线性无关 = “有没有冗余”：线性无关回答”这组向量中有没有多余的”。线性无关是”必要性”的概念。
3. 基 = “恰好合适”：既张成又线性无关的向量组就是基（第 2B 节的核心）——不大不小，恰好描述整个空间。
4. 有限维的本质约束：定理 2.22 告诉我们，在有限维空间中，“独立性”和”覆盖性”互相制约——你不能同时要太多的独立向量和太多的覆盖向量。

证明技巧清单

1. 验证张成空间是子空间：用三条件（定理 2.6 的模式），这是标准流程
2. 线性相关性引理的”取最大下标”技巧：从不全为零的系数中取最大的下标 $k$，保证 $v_k$ 可以用前面的向量表示
3. 逐步替换法（定理 2.22）：每次加入一个线性无关向量，同时移除一个张成向量——“进出平衡”保证 $m\le n$
4. 反证法构造无限线性无关组：证明无限维时，逐步构造越来越长的线性无关组（定理 2.25 的逆否命题）
5. 多项式恒等 = 系数全零：判断多项式组线性无关的关键工具

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六、补充理解与易混淆点

6.1 张成空间的几何直觉

在 ${\mathbb{R}}^2$ 和 ${\mathbb{R}}^3$ 中，张成空间有非常直观的几何含义（Georgia Tech ILA 讲义、UCSD 线性代数讲义）：

向量组	张成空间	几何形象
一个非零向量 $\{v\}$	$\text{span}(v)$	过原点的直线
两个不共线向量 $\{u,v\}$	$\text{span}(u,v)$	过原点的平面
两个共线向量 $\{u,cu\}$	$\text{span}(u,cu)$	一条直线（$cu$ 是冗余的）
三个不共面向量	$\text{span}(u,v,w)$	整个 ${\mathbb{R}}^3$

直觉：张成空间就是你用这些向量能"到达"的所有位置。就像给你几根绳索（向量），你能到达的范围就是它们的张成空间。

来源：Georgia Tech Interactive Linear Algebra 讲义、UCSD 线性代数讲义、UCLA 数学圈讲义。

6.2 线性无关的多种等价表述

线性无关有多种等价定义，理解它们之间的转换非常重要：

等价表述	含义
零向量的线性组合唯一	$a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m=0\Rightarrow a_i=0$
每个向量的表示唯一	$\text{span}$ 中每个向量只有一种线性组合表示
没有冗余向量	移除任何一个向量都会缩小张成空间
不存在非平凡的线性依赖关系	没有不全为零的系数使线性组合为零

来源：Duke University ILA 讲义、WWU Chapter 2 Finite-Dimensional Vector Spaces 讲义。

6.3 线性相关 vs 线性无关：整体与局部

一个常见的逻辑混淆是关于线性相关/无关的”整体”与”局部”关系（Hanspub 线性代数注记）：

• ✅ 整体线性相关 ⟹ 存在某个部分组线性相关（去掉非零系数对应的向量后）
• ❌ 整体线性相关 ⟹ 任意部分组也线性相关（错误！）
• ✅ 部分组线性相关 ⟹ 整体线性相关
• ✅ 整体线性无关 ⟹ 任意部分组也线性无关

来源：Hanspub “线性代数中的几个注记”。

6.4 常见误区

误区1："线性无关就是两两不成比例"

❌ 错误认知：向量组线性无关等价于其中任意两个向量不成比例 ✅ 正确理解：两两不成比例只是线性无关的必要条件，不是充分条件。例如 $(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)$ 两两不成比例，但 $(1,1,0)=(1,0,0)+(0,1,0)$，所以线性相关。三个或更多向量时，需要检查所有向量的组合，而非仅两两关系

误区2："张成空间就是所有向量的集合"

❌ 错误认知：$\text{span}(v_1,\dots ,v_m)$ 是 $\{v_1,\dots ,v_m\}$ 的某种”扩展” ✅ 正确理解：张成空间是所有线性组合的集合，通常是一个无限集（除非所有 $v_i=0$）。向量组本身是有限的，但张成空间可以包含无穷多个向量（UFL Common Mistakes 讲义）

误区3："线性无关的向量越多越好"

❌ 错误认知：在向量空间中可以找到任意长的线性无关组 ✅ 正确理解：由定理 2.22，线性无关组的长度不能超过张成组的长度。在 $n$ 维空间中，线性无关组最多有 $n$ 个向量。超过 $n$ 个向量必然线性相关

误区4："子空间可以是线性无关的"

❌ 错误认知：某个子空间是线性无关的 ✅ 正确理解：线性无关是向量组的性质，不是子空间的性质。子空间是一个集合，包含无穷多个向量（除 $\{0\}$ 外），而任何包含多于一个向量的无穷集合都不可能线性无关（UFL Common Mistakes 讲义）

来源：University of Florida Common Mistakes in Math Terminology、Duke University ILA 讲义、Hanspub 线性代数注记、Georgia Tech ILA 讲义。

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七、习题精选

本节习题

编号	标题	核心考点	难度
1	求 F³ 中的张成空间	张成的计算	⭐
3	前缀和组的张成	张成空间相等	⭐⭐
5	求参数使组线性相关	线性相关的判定	⭐⭐
8	差分组线性无关	线性无关的传递	⭐⭐
13	扩展线性无关组	线性无关的充要条件	⭐⭐⭐
15	P₄ 中无六元线性无关组	维数限制	⭐⭐

习题 1：求 ${\mathbb{F}}^3$ 中的张成空间

习题 1

求 ${\mathbb{F}}^3$ 中的四个不同向量，其张成空间等于 $\{(x,y,z)\in {\mathbb{F}}^3:x+y+z=0\}$。

查看解答

条件 $x+y+z=0$ 等价于 $z=-x-y$，所以 $\{(x,y,z):x+y+z=0\}=\{(x,y,-x-y):x,y\in \mathbb{F}\}=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)$

因此 $\text{span}((1,0,-1),(0,1,-1))$ 就是所求的子空间。

四个不同向量可以取：$(1,0,-1),(0,1,-1),(1,1,-2),(2,3,-5)$（后两个是前两个的线性组合，不影响张成空间）。

习题 3：前缀和组的张成

习题 3

设 $v_1,\dots ,v_m$ 是 $V$ 中的一组向量。对于 $k\in \{1,\dots ,m\}$，令 $w_k=v_1+\cdots +v_k$。证明 $\text{span}(v_1,\dots ,v_m)=\text{span}(w_1,\dots ,w_m)$。

查看解答

证明：

($\subseteq$)：每个 $v_k=w_k-w_{k-1}$（约定 $w_0=0$），所以 $v_k\in \text{span}(w_1,\dots ,w_m)$。因此 $\text{span}(v_1,\dots ,v_m)\subseteq \text{span}(w_1,\dots ,w_m)$。

($\supseteq$)：每个 $w_k=v_1+\cdots +v_k\in \text{span}(v_1,\dots ,v_m)$。因此 $\text{span}(w_1,\dots ,w_m)\subseteq \text{span}(v_1,\dots ,v_m)$。$■$

习题 5：求参数使组线性相关

习题 5

求一数 $t$ 使得 $(3,1,4),(2,-3,5),(5,9,t)$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 中不是线性无关的。

查看解答

三个向量在 ${\mathbb{R}}^3$ 中线性相关 ⟺ 它们张成的平行六面体体积为零 ⟺ 行列式为零。

$\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 2& -3& 5\\ 5& 9& t\end{array}\right|=3(-3t-45)-1(2t-25)+4(18+15)$ $=-9t-135-2t+25+132=-11t+22$

令 $-11t+22=0$，得 $t=2$。

验证：$t=2$ 时 $(5,9,2)=(3,1,4)+(2,-3,5)-(0,-5,7)$… 更直接地，$t=2$ 时第三个向量是前两个的和：$(3,1,4)+(2,-3,5)=(5,-2,9)\ne (5,9,2)$。但行列式为零保证线性相关。$■$

习题 8：差分组线性无关

习题 8

设 $v_1,v_2,v_3,v_4$ 在 $V$ 中线性无关。证明组 $v_1-v_2,v_2-v_3,v_3-v_4,v_4$ 也线性无关。

查看解答

证明：设 $a(v_1-v_2)+b(v_2-v_3)+c(v_3-v_4)+d{v}_4=0$。

展开并按 $v_i$ 合并同类项： $a{v}_1+(-a+b)v_2+(-b+c)v_3+(-c+d)v_4=0$

由 $v_1,v_2,v_3,v_4$ 线性无关，得方程组： $a=0,-a+b=0,-b+c=0,-c+d=0$

由此 $a=b=c=d=0$。$■$

习题 13：扩展线性无关组

习题 13

设 $v_1,\dots ,v_m$ 在 $V$ 中线性无关，且 $w\in V$。证明：$v_1,\dots ,v_m,w$ 线性无关 $\iff$ $w\notin \text{span}(v_1,\dots ,v_m)$。

查看解答

($\Rightarrow$)：反证。若 $w\in \text{span}(v_1,\dots ,v_m)$，则 $w=a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m$，于是 $a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m+(-1)w=0$，其中系数 $-1\ne 0$，与线性无关矛盾。

($\Leftarrow$)：设 $a_1{v}_1+\cdots +a_m{v}_m+a_{m+1}w=0$。若 $a_{m+1}\ne 0$，则 $w=-\frac{a_1}{a_{m+1}}{v}_1-\cdots -\frac{a_m}{a_{m+1}}{v}_m\in \text{span}(v_1,\dots ,v_m)$，矛盾。故 $a_{m+1}=0$，从而 $a_1=\cdots =a_m=0$（由 $v_1,\dots ,v_m$ 线性无关）。$■$

习题 15：${\mathcal{P}}_4(\mathbb{F})$ 中无六元线性无关组

习题 15

解释为什么在 ${\mathcal{P}}_4(\mathbb{F})$ 中不存在由六个多项式组成的线性无关组。

查看解答

${\mathcal{P}}_4(\mathbb{F})=\text{span}(1,z,z^2,z^3,z^4)$，所以 $1,z,z^2,z^3,z^4$ 是一个长度为 $5$ 的张成组。

由定理 2.22，${\mathcal{P}}_4(\mathbb{F})$ 中每个线性无关组的长度 $\le 5$。因此不存在长度为 $6$ 的线性无关组。$■$

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八、视频学习指南

视频资源

视频主题	对应笔记模块	平台
线性组合与张成空间	一、线性组合与张成空间	B站
有限维与无限维	二、有限维与无限维	B站
线性无关与线性相关	三、线性无关性	B站
线性相关性引理与长度定理	三、线性无关性	B站

视频精要

暂无对应视频的详细精要。建议在学习时关注以下要点：

• 理解张成空间的”最小包含”性质（定理 2.6）——它连接了 1C 的子空间理论
• 掌握线性相关性引理的”取最大下标”技巧——这是后续基的构造方法的基础
• 理解定理 2.22 的”逐步替换”证明——每步”进一个 $u$，出一个 $w$”
• 注意有限维/无限维的区别——本书后续只关注有限维

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九、教材原文

张成空间与线性无关