1A Rⁿ 和 Cⁿ

1.A ${\mathbb{R}}^n$ 和 ${\mathbb{C}}^n$

本节概览

本节是第 1 章的起点，也是整本书的基石。从复数的定义出发，逐步构建出==${\mathbb{F}}^n$==（${\mathbb{R}}^n$ 或 ${\mathbb{C}}^n$）这一核心对象，并定义其上的加法和标量乘法两种运算。整个逻辑链条为：

复数定义 $\to$ 复数算术性质 $\to$ 减法与除法 $\to$ 记号 $\mathbb{F}$ $\to$ 组的定义 $\to$ ${\mathbb{F}}^n$ 的定义 $\to$ ${\mathbb{F}}^n$ 中的加法 $\to$ ${\mathbb{F}}^n$ 中的标量乘法

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一、复数

1.1 复数的定义

定义 1.1：复数（complex numbers）、 $\mathbb{C}$

一个复数是一个有序对 $(a,b)$，其中 $a,b\in \mathbb{R}$，写成 $a+bi$ 的形式。

全体复数所构成的集合用 $\mathbb{C}$ 表示： $\mathbb{C}=\{a+bi:a,b\in \mathbb{R}\}$

$\mathbb{C}$ 上的加法和乘法定义为： $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ 其中 $a,b,c,d\in \mathbb{R}$。

学习注解

• 如果 $a\in \mathbb{R}$，将 $a+0i$ 等同于实数 $a$，从而 $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$。
• 通常将 $0+bi$ 简写作 $bi$，将 $0+1i$ 简写作 $i$。
• 复数乘法定义的来由：假设 $i^2=-1$，用一般算术规则展开 $(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$，再用定义式验证 $i^2=-1$ 确实成立。
• 不要背乘法公式——只需记住 $i^2=-1$，再运用分配律和交换律即可重新推导。

1.2 复数的算术性质

1.3：复数的算术性质

可交换性（commutativity）：对所有 $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$，有 $\alpha +\beta =\beta +\alpha$ 以及 $\alpha \beta =\beta \alpha$。

可结合性（associativity）：对所有 $\alpha ,\beta ,\lambda \in \mathbb{C}$，有 $(\alpha +\beta )+\lambda =\alpha +(\beta +\lambda )$ 以及 $(\alpha \beta )\lambda =\alpha (\beta \lambda )$。

恒等元（identities）：对所有 $\lambda \in \mathbb{C}$，有 $\lambda +0=\lambda$ 以及 $\lambda \cdot 1=\lambda$。

加法逆元（additive inverse）：对每个 $\alpha \in \mathbb{C}$，都存在唯一的 $\beta \in \mathbb{C}$ 使得 $\alpha +\beta =0$。

乘法逆元（multiplicative inverse）：对每个 $\alpha \in \mathbb{C}$ 且 $\alpha \ne 0$，都存在唯一的 $\beta \in \mathbb{C}$ 使得 $\alpha \beta =1$。

分配性质（distributive property）：对所有 $\lambda ,\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$，有 $\lambda (\alpha +\beta )=\lambda \alpha +\lambda \beta$。

学习注解

这六条性质可以用实数的性质加上复数加法、乘法的定义来证明。它们是复数作为”域”（field）的公理——后续所有关于复数的运算都建立在这六条性质之上。

1.3 例题

例 1.2：复数的算术运算

利用分配律和交换律计算 $(2+3i)(4+5i)$： $(2+3i)(4+5i)=2\cdot (4+5i)+(3i)(4+5i)$ $=2\cdot 4+2\cdot 5i+3i\cdot 4+(3i)(5i)$ $=8+10i+12i+15i^2$ $=8+10i+12i-15$ $=-7+22i$

例 1.4：复数乘法的可交换性

要说明对所有 $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ 均有 $\alpha \beta =\beta \alpha$，设 $\alpha =a+bi$，$\beta =c+di$，其中 $a,b,c,d\in \mathbb{R}$。

由复数乘法定义： $\alpha \beta =(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ $\beta \alpha =(c+di)(a+bi)=(ca-db)+(cb+da)i$

结合实数乘法与加法的可交换性（$ac=ca$，$bd=db$，$ad=da$，$bc=cb$），可得 $\alpha \beta =\beta \alpha$。

1.4 减法与除法

定义 1.5： $-\alpha$、减法（subtraction）、$1/\alpha$、除法（division）

假设 $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$。

令 $-\alpha$ 表示 $\alpha$ 的加法逆元。于是 $-\alpha$ 是唯一使得 $\alpha +(-\alpha )=0$ 成立的复数。

$\mathbb{C}$ 上的减法定义为：$\beta -\alpha =\beta +(-\alpha )$。

对于 $\alpha \ne 0$，令 $1/\alpha$ 和 ${\alpha }^{-1}$ 表示 $\alpha$ 的乘法逆元。于是 $1/\alpha$ 是唯一使得 $\alpha (1/\alpha )=1$ 成立的复数。

对于 $\alpha \ne 0$，除以 $\alpha$ 定义为：$\beta /\alpha =\beta (1/\alpha )$。

学习注解

减法和除法并非独立的运算——它们是通过加法逆元和乘法逆元从加法和乘法”派生”出来的。这种”定义基本运算 + 逆元 + 派生运算”的模式，在后续定义 ${\mathbb{F}}^n$ 中的减法时也会出现。

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二、${\mathbb{F}}^n$ 的定义

2.1 记号 F

记号 1.6： $\mathbb{F}$

在全书中，$\mathbb{F}$ 代表 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$。

学习注解

• 如果我们证明了一个涉及 $\mathbb{F}$ 的定理，那么将 $\mathbb{F}$ 替换为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 时定理也成立。
• $\mathbb{F}$ 中的元素称为标量（scalar）。“标量”只是”数”的一个花哨表达法，用来强调它是数而非向量。
• 字母 $\mathbb{F}$ 的使用是因为 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 都是域（field）的实例。
• 对于 $\alpha \in \mathbb{F}$ 和正整数 $m$，定义 ${\alpha }^m=\underset{m\text{ 个 }\alpha }{\underbrace{\alpha \cdot \cdots \cdot \alpha }}$，由此可得 $({\alpha }^m{)}^n={\alpha }^{mn}$ 和 $(\alpha \beta {)}^m={\alpha }^m{\beta }^m$。

2.2 组

定义 1.8：组（list）、长度（length）

假设 $n$ 是非负整数。一个长度为 $n$ 的组是 $n$ 个有顺序的元素，这些元素可能是数、其他组或是更抽象的对象。

两个组相等，当且仅当它们具有相同的长度和按相同顺序排列的相同元素。

学习注解

• 组的通常写法是将元素以逗号分隔并用圆括号括起来：$(z_1,\dots ,z_n)$。
• 长度为 2 的组是有序对 $(a,b)$，长度为 3 的组是有序三元组 $(x,y,z)$。
• 每个组都具有有限长度（非负整数），因此 $(x_1,x_2,\dots )$（无限长度）不是组。
• 长度为 0 的组是 $()$，引入它是为了避免一些定理出现平凡的例外情形。

例 1.7： ${\mathbb{R}}^2$ 和 ${\mathbb{R}}^3$

${\mathbb{R}}^2=\{(x,y):x,y\in \mathbb{R}\}$ 可视化为一个平面。

${\mathbb{R}}^3=\{(x,y,z):x,y,z\in \mathbb{R}\}$ 可视化为通常的三维空间。

例 1.9：组 VS 集合

组与有限集有两方面差异：在组中，顺序很重要，并且重复是有含义的；而在集合里，顺序和重复都无关紧要。

• 组 $(3,5)$ 和 $(5,3)$ 不相等，但集合 $\{3,5\}$ 和 $\{5,3\}$ 相等。
• 组 $(4,4)$ 和 $(4,4,4)$ 不相等（长度不同），但集合 $\{4,4\}$ 和 $\{4,4,4\}$ 都等于集合 $\{4\}$。

2.3 ${\mathbb{F}}^n$ 的定义

记号 1.10： $n$

在本章剩余内容中，将 $n$ 取为某一固定的正整数。

定义 1.11： ${\mathbb{F}}^n$、坐标（coordinate）

${\mathbb{F}}^n$ 是全体具有 $n$ 个 $\mathbb{F}$ 中元素的组所构成的集合： ${\mathbb{F}}^n=\{(x_1,\dots ,x_n):\text{对于 }k=1,\dots ,n\text{ 有 }{x}_k\in \mathbb{F}\}$

对于 $(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{F}}^n$ 和 $k\in \{1,\dots ,n\}$，称 $x_k$ 是 $(x_1,\dots ,x_n)$ 的第 $k$ 个坐标。

例 1.12： ${\mathbb{C}}^4$

${\mathbb{C}}^4=\{(z_1,z_2,z_3,z_4):z_1,z_2,z_3,z_4\in \mathbb{C}\}$ ${\mathbb{C}}^4$ 的每个元素是一个由 4 个复数组成的组。

学习注解

• 如果 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 且 $n=2$ 或 $3$，则 ${\mathbb{F}}^n$ 的定义与 ${\mathbb{R}}^2$、${\mathbb{R}}^3$ 的定义吻合。
• 当 $n\ge 4$ 时，无法将 ${\mathbb{R}}^n$ 可视化为物理实体；当 $n\ge 2$ 时，人脑也不能想象出 ${\mathbb{C}}^n$ 的全貌。然而，即便 $n$ 很大，我们也可以如在 ${\mathbb{R}}^2$ 或 ${\mathbb{R}}^3$ 中那样简便地在 ${\mathbb{F}}^n$ 中进行代数运算。因此，这门学科叫做线性代数。

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三、${\mathbb{F}}^n$ 中的加法

3.1 加法的定义

定义 1.13： ${\mathbb{F}}^n$ 中的加法（addition in ${\mathbb{F}}^n$）

${\mathbb{F}}^n$ 中的加法定义为将对应坐标分别相加： $(x_1,\dots ,x_n)+(y_1,\dots ,y_n)=(x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n)$

3.2 加法的可交换性

命题 1.14： ${\mathbb{F}}^n$ 中加法的可交换性

如果 $x,y\in {\mathbb{F}}^n$，那么 $x+y=y+x$。

证明思路

设 $x=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{F}}^n$ 且 $y=(y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{F}}^n$。

[关键步骤] 逐步展开坐标并利用 $\mathbb{F}$ 中加法的可交换性： $x+y=(x_1,\dots ,x_n)+(y_1,\dots ,y_n)$ $=(x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n)\text{——由 Fn 中加法的定义}$ $=(y_1+x_1,\dots ,y_n+x_n)\text{——由 F 中加法的可交换性}$ $=(y_1,\dots ,y_n)+(x_1,\dots ,x_n)\text{——由 Fn 中加法的定义}$ $=y+x$

$■$

学习注解

证明的核心模式：将 ${\mathbb{F}}^n$ 中的性质归结为 $\mathbb{F}$ 中的性质。${\mathbb{F}}^n$ 中加法的可交换性并非独立的新性质，而是直接从 $\mathbb{F}$（$\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）中加法的可交换性”继承”而来的。这种”逐坐标验证”的证明模式将在整本书中反复出现。

3.3 零向量

记号 1.15： $0$

令 $0$ 表示长度为 $n$ 且所有坐标都是 $0$ 的组： $0=(0,\dots ,0)$

例 1.16：根据上下文确定使用的是哪种 $0$

考虑”$0$ 是 ${\mathbb{F}}^n$ 中的加法恒等元”这一表达式： $\text{对所有 }x\in {\mathbb{F}}^n\text{，有 }x+0=x$

此处式中的 $0$ 是==组 $0\in {\mathbb{F}}^n$==，而不是数 $0$，因为我们并未定义 ${\mathbb{F}}^n$ 中元素（此处即 $x$）和数 $0$ 的加法。

学习注解

符号 $0$ 的多重含义是初学者常见的困惑来源。在本书中，$0$ 至少可以表示：

• 数 $0\in \mathbb{R}$（或 $\mathbb{C}$）
• 零向量 $0\in {\mathbb{F}}^n$
• 零映射 $0\in \mathcal{L}(V,W)$（后续章节）

根据上下文区分——看 $0$ 参与的是什么运算、和什么类型的对象在一起。

3.4 加法逆元

定义 1.17： ${\mathbb{F}}^n$ 中的加法逆元（additive inverse in ${\mathbb{F}}^n$）、$-x$

对于 $x\in {\mathbb{F}}^n$，$x$ 的加法逆元，记作 $-x$，是满足下式的向量 $-x\in {\mathbb{F}}^n$： $x+(-x)=0$

如果 $x=(x_1,\dots ,x_n)$，那么 $-x=(-x_1,\dots ,-x_n)$。

学习注解

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，向量 $-x$ 与 $x$ 长度相同但指向相反方向。减法可以类似定义为 $y-x=y+(-x)$。

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四、${\mathbb{F}}^n$ 中的标量乘法

4.1 标量乘法的定义

定义 1.18： ${\mathbb{F}}^n$ 中的标量乘法（scalar multiplication in ${\mathbb{F}}^n$）

数 $\lambda$ 与 ${\mathbb{F}}^n$ 中的向量之乘积是通过将这向量的每一个坐标都乘以 $\lambda$ 计算得到的： $\lambda (x_1,\dots ,x_n)=(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)$ 其中 $\lambda \in \mathbb{F}$ 且 $(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{F}}^n$。

学习注解

• 标量乘法将一个标量（$\mathbb{F}$ 中的数）和一个向量（${\mathbb{F}}^n$ 中的元素）相乘，得到一个向量。
• 这与点积（dot product）不同：点积将两个向量相乘，得到一个标量。点积的推广形式将在第 6 章中变得重要。
• Axler 明确指出：本可以定义 ${\mathbb{F}}^n$ 中两个元素的逐坐标乘法，但”经验表明，这种定义无助于实现我们的目的”。标量乘法才是线性代数的核心运算。

4.2 几何解释

几何直觉（ ${\mathbb{R}}^2$ 中的可视化）

向量的两种视角：

• 点：$v=(a,b)$ 是平面上的一个点
• 箭头：从原点出发、到 $(a,b)$ 结束的箭头（此时称为向量）

箭头可以平行移动（不改变长度和方向），仍视为同一个向量。

加法的几何意义：将向量 $v$ 平行移动使其起点与 $u$ 的终点重合，则 $u+v$ 是从 $u$ 的起点到 $v$ 的终点的向量。

标量乘法的几何意义：

• 若 $\lambda >0$：$\lambda x$ 与 $x$ 同方向，长度为 $x$ 的 $\lambda$ 倍（缩短或延长）
• 若 $\lambda <0$：$\lambda x$ 与 $x$ 反方向，长度为 $x$ 的 $|\lambda |$ 倍
• 若 $\lambda =0$：$\lambda x=0$（零向量）

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五、知识结构总览

graph TD
    A[复数 C] --> B[定义1.1 - 有序对 a加bi]
    A --> C[1.3 算术性质 - 6条]
    A --> D[例1.2/1.4 - 运算示例]
    C --> E[定义1.5 - 减法与除法]
    E --> F[记号1.6 - F代表R或C]
    F --> G[定义1.8 - 组 list]
    G --> H[定义1.11 - Fn]
    H --> I[定义1.13 - Fn中的加法]
    I --> J[命题1.14 - 加法可交换性]
    J --> K[定义1.17 - 加法逆元]
    I --> L[定义1.18 - 标量乘法]
    H --> M[下一节 1B 向量空间]

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六、核心思想与证明技巧

核心思想

1. 复数是有序对：$\mathbb{C}$ 不是”虚幻的数”，而是有序对 $(a,b)$ 配上特定的加法和乘法规则。$i^2=-1$ 是定义的推论，而非假设。
2. ${\mathbb{F}}^n$ 是组的集合：${\mathbb{F}}^n$ 的元素是长度为 $n$ 的组（有序、可重复），不是集合。这是线性代数中”顺序”重要性的第一个体现。
3. 逐坐标定义运算：${\mathbb{F}}^n$ 中的加法和标量乘法都是逐坐标定义的，这使得 ${\mathbb{F}}^n$ 中的代数性质直接继承自 $\mathbb{F}$ 中的性质。
4. 代数优于几何：虽然低维（$n=2,3$）的几何直觉有助于理解，但线性代数的真正力量在于代数方法对任意 $n$ 都有效。
5. 标量乘法是核心：逐元素乘法被放弃，标量乘法（数乘向量）成为基本运算——这是线性结构（“缩放”）的本质。

证明技巧清单

• 逐坐标验证法：将 ${\mathbb{F}}^n$ 中的性质归结为 $\mathbb{F}$ 中的性质（如命题 1.14 的证明）
• 利用 $i^2=-1$ 重新推导：不要背复数乘法公式，用分配律 + $i^2=-1$ 现场推导
• 上下文区分符号：遇到 $0$ 时，先判断它参与的是什么运算、和什么类型的对象在一起

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七、补充理解与易混淆点

为什么需要复数？

复数的发明是为了解决”负数不能开平方”的问题。更深刻地说，复数使得代数基本定理成立：每个非常数复系数多项式都有复数根。这意味着在 $\mathbb{C}$ 上，所有多项式都可以完全分解为一次因式的乘积——这是 $\mathbb{R}$ 做不到的。

来源：Purdue University 讲义。

${\mathbb{F}}^n$ 的几何直觉——从 ${\mathbb{R}}^2$ 到高维

${\mathbb{R}}^2$ 可以可视化为平面，${\mathbb{R}}^3$ 可以可视化为三维空间。但当 $n\ge 4$ 时，==我们无法将 ${\mathbb{R}}^n$ 可视化为物理实体==。然而，即便 $n$ 很大（如经济学中的 ${\mathbb{R}}^{5000}$），我们仍然可以在 ${\mathbb{F}}^n$ 中进行代数运算——这正是”线性代数”的真正含义：用代数方法处理高维空间。

来源：Axler 原文、UW-Madison 讲义。

组与集合的本质区别

	组（list）	集合（set）
顺序	重要：$(3,5)\ne (5,3)$	无关：$\{3,5\}=\{5,3\}$
重复	有含义：$(4,4)\ne (4)$	无关：$\{4,4\}=\{4\}$
长度	有限非负整数	可无限
用途	坐标、向量表示	元素归属

域的概念——为什么是 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$？

域是具有加法和乘法运算、满足 1.3 中所有性质的集合。$\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 是最常见的域，但还有其他域：

• $\mathbb{Q}$（有理数域）
• ${\mathbb{F}}_2=\{0,1\}$，其中 $1+1=0$（有限域，可能导致直觉失效）

在本书中，$\mathbb{F}$ 代表 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，但多数定理对任意域都成立。

来源：Axler 原文”域的题外话”、Northeastern Dummit 讲义。

向量的两种视角——点 vs 箭头

${\mathbb{R}}^2$ 中的元素可以看作：

• 点：$(a,b)$ 是平面上的一个位置
• 向量（箭头）：从原点出发、到 $(a,b)$ 结束的有向线段

箭头可以平行移动（不改变长度和方向），仍视为同一向量。加法对应”首尾相接”，标量乘法对应”缩放”。

符号 0 的多重含义

在线性代数中，符号 $0$ 可能表示：

• 标量 $0\in \mathbb{F}$（数零）
• 零向量 $0=(0,\dots ,0)\in {\mathbb{F}}^n$
• 零空间 $\{0\}$
• 零映射

具体含义由上下文决定。例如 "$x+0=x$" 中，如果 $x\in {\mathbb{F}}^n$，则 $0$ 是零向量；如果 $x\in \mathbb{F}$，则 $0$ 是数零。

注意

这些几何直觉仅适用于 ${\mathbb{R}}^2$ 和 ${\mathbb{R}}^3$。对于 ${\mathbb{C}}^n$ 或 $n\ge 4$，几何方法失效，必须依赖代数。

常见误区

误区1："向量就是有方向的箭头"

❌ 函数、多项式、矩阵、无穷序列都可以是”向量”。向量的本质不是几何表示，而是属于某个集合且支持加法和数乘运算。

来源：Northeastern Dummit 讲义。

误区2：" $i$ 是虚数所以不存在"

❌ 复数 $a+bi$ 不是”虚幻的数”，而是有序对 $(a,b)$ 配上特定的加法和乘法规则。$i^2=-1$ 是定义的推论，而非假设。复数在物理学、工程学、信号处理中有广泛的真实应用。

来源：Purdue University 讲义。

误区3：" ${\mathbb{R}}^2$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的子空间"

❌ ${\mathbb{R}}^2$ 的元素是二元组，${\mathbb{R}}^3$ 的元素是三元组——它们根本不是同一个集合的元素。不过 $\{(x,y,0):x,y\in \mathbb{R}\}$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的子空间，且与 ${\mathbb{R}}^2$ 同构。

来源：University of Utah 讲义。

误区4："组就是集合"

❌ 组中顺序重要且重复有含义：$(3,5)\ne (5,3)$，$(4,4)\ne (4)$。集合中顺序无关且重复无含义：$\{3,5\}=\{5,3\}$，$\{4,4\}=\{4\}$。

来源：Axler 例 1.9。

误区5："标量乘法就是逐元素相乘"

❌ 标量乘法是将一个标量（数）乘以一个向量，得到一个向量：$\lambda (x_1,\dots ,x_n)=(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)$。这与”两个向量逐元素相乘”（Hadamard 乘积）完全不同。标量乘法是线性结构的本质运算。

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八、习题精选

习题 7：验证立方根

证明 $\frac{-1+3i}{2}$ 是 $1$ 的立方根（即它的立方等于 $1$）。

查看解答

设 $z=\frac{-1+3i}{2}$。计算 $z^2$： $z^2={\left(\frac{-1+3i}{2}\right)}^2=\frac{(-1+3i{)}^2}{4}=\frac{1-6i+9i^2}{4}=\frac{1-6i-9}{4}=\frac{-8-6i}{4}=-2-\frac{3}{2}i$

再计算 $z^3=z^2\cdot z$： $z^3=\left(-2-\frac{3}{2}i\right)\cdot \frac{-1+3i}{2}=\frac{1}{2}\left(-2-\frac{3}{2}i\right)(-1+3i)$ $=\frac{1}{2}\left[(-2)(-1)+(-2)(3i)+\left(-\frac{3}{2}i\right)(-1)+\left(-\frac{3}{2}i\right)(3i)\right]$ $=\frac{1}{2}\left[2-6i+\frac{3}{2}i-\frac{9}{2}{i}^2\right]$ $=\frac{1}{2}\left[2-6i+\frac{3}{2}i+\frac{9}{2}\right]$ $=\frac{1}{2}\left[\frac{13}{2}-\frac{9}{2}i\right]=\frac{13}{4}-\frac{9}{4}i$

等等，这不对。让我重新计算：

重新计算 $z^2$： $(-1+3i{)}^2=1-2\cdot 1\cdot 3i+9i^2=1-6i-9=-8-6i$ $z^2=\frac{-8-6i}{4}=-2-\frac{3}{2}i$

$z^3=z^2\cdot z$： $\left(-2-\frac{3}{2}i\right)\left(\frac{-1+3i}{2}\right)=\frac{1}{2}\left[(-2)(-1)+(-2)(3i)+\left(-\frac{3}{2}\right)(-1)i+\left(-\frac{3}{2}\right)(3)i^2\right]$ $=\frac{1}{2}\left[2-6i+\frac{3}{2}i-\frac{9}{2}(-1)\right]$ $=\frac{1}{2}\left[2-6i+\frac{3}{2}i+\frac{9}{2}\right]$ $=\frac{1}{2}\left[\frac{13}{2}-\frac{9}{2}i\right]=\frac{13}{4}-\frac{9}{4}i$

这不是 $1$。让我再仔细检查——实际上应该用极坐标或直接展开验证。

直接展开 $z^3$： $z^3=\frac{(-1+3i{)}^3}{8}$ $(-1+3i{)}^3=(-1+3i)(-1+3i{)}^2=(-1+3i)(-8-6i)$ $=(-1)(-8)+(-1)(-6i)+(3i)(-8)+(3i)(-6i)$ $=8+6i-24i-18i^2$ $=8-18i+18=26-18i$

所以 $z^3=\frac{26-18i}{8}=\frac{13-9i}{4}$，这确实不是 $1$。

修正：题目应为 $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$（注意是 $\sqrt{3}$ 而非 $3$）。

设 $z=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$，则： $z^2=\frac{(-1+\sqrt{3}i{)}^2}{4}=\frac{1-2\sqrt{3}i+3i^2}{4}=\frac{1-2\sqrt{3}i-3}{4}=\frac{-2-2\sqrt{3}i}{4}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ $z^3=z^2\cdot z=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\cdot \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=\frac{(-1{)}^2-(\sqrt{3}i{)}^2}{4}=\frac{1-3(-1)}{4}=\frac{4}{4}=1■$

习题 8：求 $i$ 的平方根

求 $i$ 的两个相异平方根。

查看解答

设 $(a+bi{)}^2=i$，其中 $a,b\in \mathbb{R}$。 $a^2+2abi+b^2{i}^2=i$ $(a^2-b^2)+2abi=0+1\cdot i$

比较实部和虚部： $\{\begin{array}{l}{a}^2-b^2=0\\ 2ab=1\end{array}$

由第一个方程：$a^2=b^2$，即 $a=\pm b$。

• 若 $a=b$：代入 $2a^2=1$，得 $a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$，即 $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 或 $a=b=-\frac{1}{\sqrt{2}}$。
• 若 $a=-b$：代入 $-2a^2=1$，无实数解。

因此 $i$ 的两个平方根为 $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$ 和 $-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i$。$■$

习题 9：求解 ${\mathbb{R}}^4$ 中的向量方程

求 $x\in {\mathbb{R}}^4$ 使得 $(4,-3,1,7)+2x=(5,9,-6,8)$。

查看解答

由 $2x=(5,9,-6,8)-(4,-3,1,7)=(1,12,-7,1)$，得 $x=\left(\frac{1}{2},6,-\frac{7}{2},\frac{1}{2}\right)$ $■$

习题 10：标量乘法的无解情形

解释为什么不存在 $\lambda \in \mathbb{C}$ 使得 $\lambda (2-3i,5+4i,-6+7i)=(12-5i,7+22i,-32-9i)$

查看解答

由标量乘法的定义，$\lambda (2-3i)=12-5i$，由此解出： $\lambda =\frac{12-5i}{2-3i}=\frac{(12-5i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}=\frac{24+36i-10i-15i^2}{4+9}=\frac{24+26i+15}{13}=\frac{39+26i}{13}=3+2i$

验证第二个分量：$(3+2i)(5+4i)=15+12i+10i+8i^2=15+22i-8=7+22i$ ✓

验证第三个分量：$(3+2i)(-6+7i)=-18+21i-12i+14i^2=-18+9i-14=-32+9i$

但题目要求第三个分量为 $-32-9i$，而实际得到 $-32+9i\ne -32-9i$。

矛盾：不存在 $\lambda$ 能同时满足三个分量。$■$

习题 11： ${\mathbb{F}}^n$ 中加法的可结合性

证明 $(x+y)+z=x+(y+z)$ 对所有 $x,y,z\in {\mathbb{F}}^n$ 成立。

查看解答

设 $x=(x_1,\dots ,x_n)$，$y=(y_1,\dots ,y_n)$，$z=(z_1,\dots ,z_n)$。

$(x+y)+z=\left((x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n)\right)+(z_1,\dots ,z_n)$ $=(x_1+y_1+z_1,\dots ,x_n+y_n+z_n)$

$x+(y+z)=(x_1,\dots ,x_n)+\left((y_1+z_1,\dots ,y_n+z_n)\right)$ $=(x_1+y_1+z_1,\dots ,x_n+y_n+z_n)$

两者相等，其中用到了 $\mathbb{F}$ 中加法的可结合性。$■$

习题 15：标量乘法对加法的分配性

证明 $(a+b)x=ax+bx$ 对所有 $a,b\in \mathbb{F}$ 和 $x\in {\mathbb{F}}^n$ 成立。

查看解答

设 $x=(x_1,\dots ,x_n)$。

$(a+b)x=(a+b)(x_1,\dots ,x_n)=((a+b)x_1,\dots ,(a+b)x_n)$

$ax+bx=(a{x}_1,\dots ,a{x}_n)+(b{x}_1,\dots ,b{x}_n)=(a{x}_1+b{x}_1,\dots ,a{x}_n+b{x}_n)$

由 $\mathbb{F}$ 中乘法对加法的分配性（$(a+b)x_k=a{x}_k+b{x}_k$），两者相等。$■$

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九、视频学习指南

暂无对应视频，建议通过阅读教材原文和本笔记学习。

建议学习路径：

1. 先通读本笔记的”概览”和”知识结构总览”，建立整体框架
2. 重点理解复数的定义方式（有序对，而非”虚数”）
3. 掌握 ${\mathbb{F}}^n$ 中加法和标量乘法的逐坐标定义
4. 通过补充理解模块建立对”组”和”域”的正确认识
5. 做习题巩固：习题7（立方根）、习题9（解方程）、习题10（标量乘法反例）

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十、教材原文

Fn与复数