第 6 章 内积空间 — 章节汇总

全章概览

第 6 章是线性代数的”几何革命”——它在前五章建立的纯代数结构（向量空间、线性映射、算子）之上，引入内积赋予空间长度、角度和正交性等几何结构。本章从内积的公理化定义出发，导出范数、正交、柯西-施瓦兹不等式等基本工具，建立规范正交基的三大计算优势与格拉姆-施密特构造过程，通过舒尔定理将上三角化升级为规范正交版本，利用里斯表示定理实现内积空间中对偶空间与原空间的自然等同，最终以正交补与正交投影理论收束，将直和分解、最小化问题和伪逆统一在正交性的框架下。

逻辑链条：内积（定义 6.2）$\to$ 范数（6.7）$\to$ 正交（6.10）$\to$ 正交分解（6.13）$\to$ 柯西-施瓦兹不等式（6.14）$\to$ 三角不等式（6.17）$\to$ 平行四边形等式（6.21）$\to$ 规范正交组（6.22）$\to$ 规范正交基（6.27）$\to$ 格拉姆-施密特过程（6.32）$\to$ 舒尔定理（6.38）$\to$ 里斯表示定理（6.42）$\to$ 正交补（6.46）$\to$ 直和分解 $V=U\oplus U^{\perp }$（6.49）$\to$ 正交投影 $P_U$（6.55）$\to$ 最小化问题（6.61）$\to$ 伪逆 $T^{†}$（6.68）

核心主线：内积赋予空间几何结构，规范正交基是最优坐标系，正交投影是几何分析的核心工具，伪逆是不可逆映射的最佳替代

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一、全章知识框架思维导图

graph TB
    A["第6章 内积空间"] --> B["6A 内积和范数"]
    A --> C["6B 规范正交基"]
    A --> D["6C 正交补与正交投影"]
    B -->|"内积定义范数和正交"| C
    B -->|"柯西-施瓦兹不等式"| C
    C -->|"格拉姆-施密特过程"| D
    C -->|"里斯表示定理"| D
    B -->|"正交分解"| D
    C -.->|"第7章 谱定理"| E["后续章节"]
    D -.->|"第7章 正规算子"| F["后续章节"]
    D -.->|"第8章 奇异值分解"| G["后续章节"]
    B -.->|"第7章 伴随算子"| H["后续章节"]

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二、全章核心知识点与重点公式汇总

2.1 内积和范数（6A 内积和范数）

定理/定义	内容	编号
==内积==	五条公理：正性、定性、第一位置可加性、第一位置齐次性、共轭对称性	6.2
内积空间	带有内积的向量空间	6.4
内积的基本性质	sesquilinear 结构：第一位置线性，第二位置共轭线性；$⟨0,v⟩=0$	6.6
==范数==	$\Vert v\Vert =\sqrt{⟨v,v⟩}$；$\Vert v\Vert =0\iff v=0$；$|\lambda v|=	\lambda
==正交==	$⟨u,v⟩=0$；$0$ 与所有向量正交且是唯一自正交向量	6.10, 6.11
==毕达哥拉斯定理==	$u\perp v$ $\Rightarrow$ $\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2$	6.12
==正交分解==	$u=cv+w$，$c=\frac{⟨u,v⟩}{\Vert v{\Vert }^2}$，$w\perp v$	6.13
==柯西-施瓦兹不等式==	$	\langle u,v\rangle
==三角不等式==	$\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$，等号 $\iff$ 非负实数倍	6.17
==平行四边形等式==	$\Vert u+v{\Vert }^2+\Vert u-v{\Vert }^2=2(\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2)$	6.21

2.2 规范正交基（6B 规范正交基）

定理/定义	内容	编号
==规范正交==	$⟨e_j,e_k⟩={\delta }_{jk}$：范数为 1 且两两正交	6.22
规范正交组线性组合的范数	$|a_1e_1+\cdots+a_me_m|^2=	a_1
规范正交组线性无关	规范正交 $\Rightarrow$ 线性无关	6.25
==贝塞尔不等式==	$\sum	\langle v,e_k\rangle
==规范正交基==	既是规范正交组又是基；长度 $=\dim V$ 即可判定	6.27, 6.28
==规范正交基三大优势==	(a) 系数 $a_k=⟨v,e_k⟩$；(b) 帕塞瓦尔恒等式；(c) 内积按坐标计算	6.30
==格拉姆-施密特过程==	系统性将线性无关组转化为规范正交组，保持张成空间	6.32
规范正交基的存在性	每个有限维内积空间都有规范正交基	6.35
可扩充性	每个规范正交组都可扩充为规范正交基	6.36
规范正交基上三角化	$T$ 关于规范正交基有上三角矩阵 $\iff$ 最小多项式可分解	6.37
==舒尔定理==	复内积空间上每个算子都关于某个规范正交基有上三角矩阵	6.38
==里斯表示定理==	每个 $\phi \in V^{\prime }$ 唯一对应 $v\in V$：$\phi (u)=⟨u,v⟩$	6.42

2.3 正交补与正交投影（6C 正交补和正交投影）

定理/定义	内容	编号
==正交补== $U^{\perp }$	$\{v\in V:⟨u,v⟩=0\forall u\in U\}$	6.46
正交补的性质	子空间性、$\{0{\}}^{\perp }=V$、$V^{\perp }=\{0\}$、$U\cap U^{\perp }=\{0\}$、反序性	6.48
==直和分解==	$V=U\oplus U^{\perp }$	6.49
==$\dim U^{\perp }=\dim V-\dim U$==	正交补的维数公式	6.51
==双重正交补==	$(U^{\perp }{)}^{\perp }=U$	6.52
正交补为零/全空间判定	$U^{\perp }=\{0\}\iff U=V$	6.54
==正交投影== $P_U$	$P_{U}v=u$（$v=u+w$，$u\in U$，$w\in U^{\perp }$）	6.55
正交投影 9 条性质	线性性、恒等/零化、值域/零空间、幂等性、范数收缩、显式公式	6.57
里斯表示定理（正交补证明）	利用 $\text{null}\phi$ 的正交补是一维的	6.58
==最短距离定理==	$\Vert v-u\Vert$ 最小 $\iff$ $u=P_{U}v$	6.61
限制映射为双射	$T	_{(\text{null},T)^\perp}$是到$\text{range},T$ 的双射
==伪逆== $T^{†}$	$(T	_{(\text{null},T)^\perp})^{-1}$，扩展到整个$W$
伪逆代数性质	$T{T}^{†}=P_{\text{range}T}$，$T^{†}T=P_{(\text{null}T{)}^{\perp }}$	6.69
==伪逆最优性==	$T^{†}w$ 使 $\Vert Tv-w\Vert$ 最小；有解时范数最小	6.70

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三、章节学习脉络梳理

3.1 第一层：内积的公理化与基本推论（6A）

核心问题：如何在线性空间上定义”长度”和”角度”？

• 内积的五条公理（6.2）是整个理论的基石——正性和定性保证”长度”有意义，可加性和齐次性保证线性结构，共轭对称性适配复数域
• sesquilinear 结构：内积对第一变元线性、对第二变元共轭线性——这是复内积空间最本质的结构特征
• 范数 $\Vert v\Vert =\sqrt{⟨v,v⟩}$ 由内积导出，正交 $⟨u,v⟩=0$ 也由内积定义
• 正交分解（6.13）是全章的枢纽——它将任意向量分解为”平行分量”和”正交分量”
• 柯西-施瓦兹不等式（6.14）由正交分解+毕达哥拉斯定理推出，是数学中最重要的不等式之一
• 三角不等式（6.17）由柯西-施瓦兹推出，注意其等号条件比柯西-施瓦兹更严格（非负实数倍）
• 平行四边形等式（6.21）刻画了内积空间的特征——不满足该等式的范数不可能由内积导出

关键收获：内积是赋予向量空间几何结构的”最小代价”工具。从五条公理出发，长度、角度、正交、距离等所有几何概念都可以严格定义。柯西-施瓦兹不等式是连接代数与几何的核心桥梁。

3.2 第二层：规范正交基——最优坐标系（6B）

核心问题：什么样的基能让计算最简单？

• 规范正交组自动线性无关（6.25）——正交性是比线性无关更强的条件
• 规范正交基三大优势（6.30）：系数直接读出、帕塞瓦尔恒等式、内积按坐标计算——无需解方程组
• 贝塞尔不等式（6.26）：投影只能”损失”信息，不能”创造”信息
• 格拉姆-施密特过程（6.32）：从任意线性无关组系统构造规范正交组，同时保持张成空间不变
• 存在性（6.35）+ 可扩充性（6.36）：规范正交基普遍存在且可扩充
• 舒尔定理（6.38）：复内积空间上每个算子都关于某个规范正交基有上三角矩阵——格拉姆-施密特保持不变子空间链
• 里斯表示定理（6.42）：$V^{\prime }\cong V$ 的自然同构——内积空间中对偶空间等同于原空间

关键收获：规范正交基是内积空间中的”最优基”，它让所有计算退化为简单的坐标运算。格拉姆-施密特过程保证了这种最优基的普遍存在性。里斯表示定理揭示了内积空间区别于一般向量空间的本质特征——对偶空间与原空间自然等同。

3.3 第三层：正交补与正交投影——几何分析的核心工具（6C）

核心问题：如何利用正交性分解空间并解决最优化问题？

• 正交补 $U^{\perp }$（6.46）：与子空间完全垂直的所有向量——“法向量空间”
• ==直和分解 $V=U\oplus U^{\perp }$==（6.49）：每个向量唯一分解为 $U$ 分量和 $U^{\perp }$ 分量——全章最重要的结构定理
• 维数公式 $\dim U^{\perp }=\dim V-\dim U$（6.51）与秩-零化度定理形式上对称
• 双重正交补 $(U^{\perp }{)}^{\perp }=U$（6.52）：正交补运算的”对合性”
• ==正交投影 $P_U$==（6.55）：保留 $U$ 分量、丢弃 $U^{\perp }$ 分量——“垂直投影”
• 正交投影 9 条性质（6.57）：幂等性 $P_U^2=P_U$、范数收缩 $\Vert P_{U}v\Vert \le \Vert v\Vert$、显式公式 $P_{U}v=\sum ⟨v,e_j⟩e_j$
• 最短距离定理（6.61）：正交投影给出子空间中最近的向量——最小二乘法的理论基础
• ==伪逆 $T^{†}$==（6.68）：不可逆映射的”最佳替代”——使误差最小且在所有最优解中范数最小

关键收获：正交补和正交投影将代数问题转化为几何问题。直和分解 $V=U\oplus U^{\perp }$ 是整个 6C 节的基石，正交投影的所有性质、最小化问题和伪逆都建立在这个分解之上。伪逆是逆映射的自然推广，在数据科学和工程计算中有广泛应用。

3.4 三节之间的深层联系

3.4.1 正交分解——全章的枢纽

正交分解（命题 6.13）是全章最核心的技术工具，它串联了几乎所有重要结果：

• 推出柯西-施瓦兹不等式（6.14）：正交分解 + 毕达哥拉斯定理 $\Rightarrow$ $|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert$
• 推出三角不等式（6.17）：柯西-施瓦兹 + 实部放缩 $\Rightarrow$ $\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$
• 推出贝塞尔不等式（6.26）：将 $v$ 正交分解为规范正交组张成空间上的分量和正交分量
• 推出格拉姆-施密特过程（6.32）：每步都是正交分解——减去投影，保留正交分量
• 推出直和分解 $V=U\oplus U^{\perp }$（6.49）：利用规范正交基展开自然地将向量拆分
• 推出最短距离定理（6.61）：正交分解 + 毕达哥拉斯定理 $\Rightarrow$ 正交投影最优

3.4.2 格拉姆-施密特——万能构造器

格拉姆-施密特过程（6.32）是全章的”发动机”：

• 保证规范正交基的普遍存在性（6.35）——没有它，规范正交基的三大优势就只是空中楼阁
• 保证可扩充性（6.36）——任何规范正交组都可以扩展为规范正交基
• 保持不变子空间链——这是舒尔定理（6.38）成立的关键
• 等价于 QR 分解——数值线性代数中最基本的矩阵分解之一

3.4.3 里斯表示定理——对偶的自然化

里斯表示定理（6.42）是连接第 3 章对偶理论与第 6-7 章内积空间理论的桥梁：

• 在一般向量空间中，$V^{\prime }\cong V$ 需要选基（不自然，见 3F 节）
• 在内积空间中，$V^{\prime }\cong V$ 通过内积实现（自然同构）
• 6C 节利用正交补给出了更深刻的证明（6.58）——$\text{null}\phi$ 的正交补是一维的
• 第 7 章中，伴随算子 $T^{\ast }$ 是对偶映射 $T^{\prime }$ 在内积空间中的”化身”

3.4.4 全章核心线索图

graph TD
    A["内积定义<br/>6A"] --> B["范数与正交<br/>6A"]
    B -->|"正交分解6.13"| C["柯西-施瓦兹不等式<br/>6A"]
    C -->|"放缩"| D["三角不等式<br/>6A"]
    B -->|"规范正交组"| E["规范正交基<br/>6B"]
    E -->|"格拉姆-施密特6.32"| F["存在性+可扩充性<br/>6B"]
    F -->|"保持不变子空间链"| G["舒尔定理6.38<br/>6B"]
    E -->|"系数公式"| H["里斯表示定理6.42<br/>6B"]
    E -->|"规范正交基展开"| I["正交补与直和分解<br/>6C"]
    I -->|"直和分解"| J["正交投影P_U<br/>6C"]
    J -->|"毕达哥拉斯定理"| K["最短距离定理<br/>6C"]
    K -->|"最佳近似"| L["伪逆T†<br/>6C"]
    H -.->|"第7章 伴随算子"| M["后续章节"]
    G -.->|"第7章 谱定理"| N["后续章节"]
    L -.->|"第8章 奇异值分解"| O["后续章节"]

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四、补充理解与跨章展望

4.1 第 6 章的核心方法论

第 6 章建立的方法论在后续章节和数学的许多分支中都会反复使用：

1. “正交分解”策略：将向量分解为”有用分量”和”正交分量”，然后丢弃正交分量。这一策略贯穿全章——格拉姆-施密特过程的每一步都是正交分解，正交投影是正交分解的直接应用，最小化问题的证明也依赖正交分解。这是数值线性代数和优化理论中最基本的思想。

2. “规范正交基优先”策略：在涉及内积空间的问题中，优先选取规范正交基。规范正交基让系数、范数、内积的计算全部退化为简单的坐标运算，消去所有交叉项。这一策略是第 7 章谱定理证明的核心——在规范正交基下，正规算子的矩阵具有特殊结构。

3. “伪逆”思想：当映射不可逆时，通过限制定义域（去掉零空间）和缩小值域（只关注能达到的部分）来构造”最佳替代逆”。这一思想在最小二乘法、数据拟合、机器学习中有广泛应用。第 8 章的奇异值分解（SVD）将伪逆理论推向高潮。

4.2 第 6 章与后续章节的关联地图

第 6 章概念	后续章节中的深化
内积 $⟨u,v⟩$	第 7 章：伴随算子 $T^{\ast }$ 的定义基础
柯西-施瓦兹不等式（6.14）	第 7 章：刻画算子范数 $\Vert T\Vert$
格拉姆-施密特过程（6.32）	第 7 章：构造特征向量的规范正交基
舒尔定理（6.38）	第 7 章：谱定理的证明起点——上三角矩阵的进一步简化
里斯表示定理（6.42）	第 7 章：$T^{\ast }$ 的定义——$⟨Tv,w⟩=⟨v,T^{\ast }w⟩$
对偶空间 $V^{\prime }\cong V$	第 7 章：$T^{\prime }$ 变为 $T^{\ast }$，$\mathcal{M}(T^{\prime })=\mathcal{M}(T{)}^t$ 变为 $\mathcal{M}(T^{\ast })=\mathcal{M}(T{)}^{\ast }$
正交补 $U^{\perp }$	第 7 章：正规算子的不变子空间、谱分解
正交投影 $P_U$	第 7 章：自伴算子的谱定理——$T=\sum {\lambda }_j{P}_{E({\lambda }_j,T)}$
伪逆 $T^{†}$	第 8 章：奇异值分解（SVD）——$T^{†}=\sum {\sigma }_j^{-1}⟨\cdot ,e_j⟩f_j$
直和分解 $V=U\oplus U^{\perp }$	第 7 章：$V=E({\lambda }_1,T)\oplus \cdots \oplus E({\lambda }_m,T)$（正规算子的谱分解）
平行四边形等式（6.21）	泛函分析：内积空间的刻画定理——满足平行四边形等式的范数空间可赋予内积

4.3 为什么第 6 章是全书最重要的章节之一？

第 6 章建立了线性代数的几何基础：

• 内积赋予几何结构：前五章的向量空间只有代数结构（加法、标量乘法），第 6 章通过内积引入了长度、角度、正交性、距离等几何概念。没有第 6 章，就无法讨论”最优近似”、“最短距离”等几何问题。

• 规范正交基是最优坐标系：规范正交基让所有计算退化为简单的坐标运算。格拉姆-施密特过程保证了这种最优基的普遍存在性。舒尔定理表明，在复内积空间中，每个算子都可以在规范正交基下表示为上三角矩阵——这是第 7 章谱定理的出发点。

• 正交投影是几何分析的核心工具：正交投影将代数问题（解方程组）转化为几何问题（找最近点）。最小二乘法、数据拟合、信号处理中的傅里叶分析，本质上都是正交投影。

• 里斯表示定理统一了对偶理论：在一般向量空间中，$V^{\prime }$ 和 $V$ 是”不同”的空间（第 3 章）；但在内积空间中，$V^{\prime }\cong V$ 通过内积自然实现。这使得第 3 章的对偶映射 $T^{\prime }$ 在第 7 章变为更几何化的伴随算子 $T^{\ast }$。

可以毫不夸张地说：第 6 章将前五章的纯代数理论推向了几何与代数完美融合的境界，是理解第 7 章谱定理和第 8 章奇异值分解的必要前提。

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五、全章总复习题

使用说明

以下复习题覆盖第 6 章全部三节的核心知识点。建议在不查阅笔记的情况下独立完成，然后对照答案自评。每题标注了考查的节次和知识点。

A. 内积和范数（6A）

A1. 证明：对内积空间 $V$ 中的 $u,v$，有 $\Vert u-v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2-2\mathrm{Re}⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2$。

查看解答

$\Vert u-v{\Vert }^2=⟨u-v,u-v⟩=⟨u,u⟩-⟨u,v⟩-⟨v,u⟩+⟨v,v⟩$

$=\Vert u{\Vert }^2-⟨u,v⟩-\overline{⟨u,v⟩}+\Vert v{\Vert }^2$

$=\Vert u{\Vert }^2-2\mathrm{Re}⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2$。$■$

A2. 设 $V$ 是实内积空间，$u,v\in V$ 满足 $\Vert u\Vert =3$，$\Vert v\Vert =4$，$\Vert u+v\Vert =5$。求 $⟨u,v⟩$。

查看解答

由 $\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2+2⟨u,v⟩$（实空间中 $⟨v,u⟩=⟨u,v⟩$）：

$25=9+16+2⟨u,v⟩$，故 $⟨u,v⟩=0$。

即 $u\perp v$（这正好是勾股定理 $3^2+4^2=5^2$ 的逆命题）。$■$

A3. 利用柯西-施瓦兹不等式证明：对 $x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{R}$，有 ${\left({\sum }_{k=1}^n{x}_k\right)}^2\le n{\sum }_{k=1}^n{x}_k^2$。

查看解答

令 $u=(1,1,\dots ,1)\in {\mathbb{R}}^n$，$v=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$。

$⟨u,v⟩=\sum x_k$，$\Vert u\Vert =\sqrt{n}$，$\Vert v\Vert =\sqrt{\sum x_k^2}$。

由柯西-施瓦兹不等式：$|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert$，即

$\left|\sum x_k\right|\le \sqrt{n}\cdot \sqrt{\sum x_k^2}$

两边平方得 ${\left(\sum x_k\right)}^2\le n\sum x_k^2$。$■$

B. 规范正交基（6B）

B1. 设 $e_1,e_2,e_3$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的规范正交基，$v=e_1+2e_2+3e_3$。求 $\Vert v\Vert$ 和 $v$ 在 $e_2$ 方向上的正交投影。

查看解答

由帕塞瓦尔恒等式（6.30(b)）：$\Vert v{\Vert }^2=|⟨v,e_1⟩{|}^2+|⟨v,e_2⟩{|}^2+|⟨v,e_3⟩{|}^2=1^2+2^2+3^2=14$，故 $\Vert v\Vert =\sqrt{14}$。

$v$ 在 $e_2$ 方向上的正交投影为 $⟨v,e_2⟩e_2=2e_2$。$■$

B2. 对 ${\mathbb{R}}^3$ 中的线性无关组 $v_1=(1,1,0)$，$v_2=(1,0,1)$ 执行格拉姆-施密特过程，求出规范正交组 $e_1,e_2$。

查看解答

第一步：$f_1=v_1=(1,1,0)$。$\Vert f_1{\Vert }^2=1^2+1^2+0^2=2$。$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$。

第二步：$⟨v_2,f_1⟩=(1)(1)+(0)(1)+(1)(0)=1$。

$f_2=v_2-\frac{⟨v_2,f_1⟩}{\Vert f_1{\Vert }^2}{f}_1=(1,0,1)-\frac{1}{2}(1,1,0)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1\right)$。

$\Vert f_2{\Vert }^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1=\frac{3}{2}$。

$e_2=\frac{f_2}{\Vert f_2\Vert }=\frac{1}{\sqrt{3/2}}\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$。$■$

B3. 设 $\phi$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的线性泛函，$\phi (x,y,z)=2x-3y+z$。利用里斯表示定理求出对应的向量 $v$。

查看解答

由里斯表示定理（6.42），存在唯一 $v\in {\mathbb{R}}^3$ 使得 $\phi (u)=⟨u,v⟩$。

在欧几里得内积下，$⟨(x,y,z),(a,b,c)⟩=xa+yb+zc$。

要使 $2x-3y+z=xa+yb+zc$ 对所有 $(x,y,z)$ 成立，需要 $a=2$，$b=-3$，$c=1$。

所以 $v=(2,-3,1)$。$■$

C. 正交补与正交投影（6C）

C1. 设 $U=\text{span}\{(1,2,3)\}\subset {\mathbb{R}}^3$。求 $U^{\perp }$ 和向量 $(4,5,6)$ 在 $U$ 上的正交投影。

查看解答

求 $U^{\perp }$：$(x,y,z)\in U^{\perp }$ $\iff$ $⟨(1,2,3),(x,y,z)⟩=x+2y+3z=0$。

所以 $U^{\perp }=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x+2y+3z=0\}$，是过原点的平面。

求正交投影：$P_{U}v=\frac{⟨v,u⟩}{\Vert u{\Vert }^2}\cdot u$，其中 $u=(1,2,3)$，$v=(4,5,6)$。

$⟨v,u⟩=4+10+18=32$，$\Vert u{\Vert }^2=1+4+9=14$。

$P_U(4,5,6)=\frac{32}{14}(1,2,3)=\left(\frac{16}{7},\frac{32}{7},\frac{48}{7}\right)$。$■$

C2. 设 $\dim V=5$，$\dim U=2$。求 $\dim U^{\perp }$，并验证 $U\cap U^{\perp }=\{0\}$。

查看解答

由定理 6.51：$\dim U^{\perp }=\dim V-\dim U=5-2=3$。

验证 $U\cap U^{\perp }=\{0\}$：设 $v\in U\cap U^{\perp }$。由 $v\in U^{\perp }$，$⟨u,v⟩=0$ 对所有 $u\in U$。特别取 $u=v$（因为 $v\in U$），得 $⟨v,v⟩=\Vert v{\Vert }^2=0$，故 $v=0$。$■$

C3. 设 $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$，$T(x,y,z)=(x+y,y+z)$。求 $\text{null}T$、$\text{range}T$，并验证 $T^{†}T=P_{(\text{null}T{)}^{\perp }}$。

查看解答

求 $\text{null}T$：$T(x,y,z)=(0,0)$ 即 $x+y=0$，$y+z=0$。得 $x=-y$，$z=-y$。

$\text{null}T=\{(-a,a,-a):a\in \mathbb{R}\}=\text{span}\{(-1,1,-1)\}$，$\dim \text{null}T=1$。

求 $\text{range}T$：$T(e_1)=(1,0)$，$T(e_2)=(1,1)$，$T(e_3)=(0,1)$。$\text{range}T=\text{span}\{(1,0),(1,1)\}={\mathbb{R}}^2$。

求 $(\text{null}T{)}^{\perp }$：$(x,y,z)\perp (-1,1,-1)$ $\iff$ $-x+y-z=0$，即 $y=x+z$。

$(\text{null}T{)}^{\perp }=\{(a,a+c,c):a,c\in \mathbb{R}\}=\text{span}\{(1,1,0),(0,1,1)\}$。

验证：因为 $\text{range}T={\mathbb{R}}^2$（全空间），$T$ 是满射。$T{T}^{†}=P_{\text{range}T}=I_{{\mathbb{R}}^2}$。

$T^{†}T$ 将 $v$ 投影到 $(\text{null}T{)}^{\perp }$ 上。对任意 $v=(x,y,z)$，$P_{(\text{null}T{)}^{\perp }}v$ 是 $v$ 在 $\text{span}\{(1,1,0),(0,1,1)\}$ 上的正交投影。$■$

D. 跨节综合题

D1. 设 $e_1,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基，$U=\text{span}\{e_1,\dots ,e_m\}$（$m<n$）。证明：$P_{U}v={\sum }_{j=1}^m⟨v,e_j⟩e_j$，并求 $\Vert v-P_{U}v{\Vert }^2$。

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证明 $P_{U}v$ 的公式：由定理 6.57(i)，$P_{U}v={\sum }_{j=1}^m⟨v,e_j⟩e_j$（$e_1,\dots ,e_m$ 是 $U$ 的规范正交基）。

求 $\Vert v-P_{U}v{\Vert }^2$：$v-P_{U}v={\sum }_{j=m+1}^n⟨v,e_j⟩e_j$（$v$ 的展开减去 $U$ 分量）。

由命题 6.24（规范正交组线性组合的范数）：

$\Vert v-P_{U}v{\Vert }^2={\sum }_{j=m+1}^n|⟨v,e_j⟩{|}^2$。

由帕塞瓦尔恒等式（6.30(b)），这等于 $\Vert v{\Vert }^2-{\sum }_{j=1}^m|⟨v,e_j⟩{|}^2=\Vert v{\Vert }^2-\Vert P_{U}v{\Vert }^2$。

这也验证了毕达哥拉斯定理：$\Vert v{\Vert }^2=\Vert P_{U}v{\Vert }^2+\Vert v-P_{U}v{\Vert }^2$。$■$

D2. 证明：有限维内积空间 $V$ 中，若 $U$ 是子空间，则 $(U^{\perp }{)}^{\perp }=U$。说明为什么有限维条件不可去掉。

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证明 $(U^{\perp }{)}^{\perp }=U$（定理 6.52）：

第一步（$U\subseteq (U^{\perp }{)}^{\perp }$）：设 $u\in U$。对每个 $v\in U^{\perp }$，$⟨u,v⟩=0$（$U^{\perp }$ 的定义），故 $u\in (U^{\perp }{)}^{\perp }$。

第二步（$(U^{\perp }{)}^{\perp }\subseteq U$）：$\dim (U^{\perp }{)}^{\perp }=\dim V-\dim U^{\perp }=\dim V-(\dim V-\dim U)=\dim U$。又 $U\subseteq (U^{\perp }{)}^{\perp }$ 且维数相同，故相等。

有限维条件不可去掉：在无限维空间中，一般只有 $U\subseteq (U^{\perp }{)}^{\perp }$，等号不一定成立。例如，在 $C[-1,1]$（连续函数空间）中，取 $U$ 为多项式全体，则 $U^{\perp }=\{0\}$（只有零函数与所有多项式正交），$(U^{\perp }{)}^{\perp }=C[-1,1]\ne U$。$■$

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六、各节笔记索引

节	笔记链接	核心主题
6A	6A 内积和范数	内积、范数、正交、柯西-施瓦兹不等式、三角不等式、平行四边形等式
6B	6B 规范正交基	规范正交基、格拉姆-施密特过程、舒尔定理、里斯表示定理
6C	6C 正交补和正交投影	正交补、直和分解、正交投影、最短距离定理、伪逆

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七、全章核心公式

必须熟记的公式与定理

1. ==柯西-施瓦兹不等式==（定理 6.14）：$|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert$，等号 $\iff$ $u,v$ 成标量倍
2. ==三角不等式==（定理 6.17）：$\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$
3. ==平行四边形等式==（定理 6.21）：$\Vert u+v{\Vert }^2+\Vert u-v{\Vert }^2=2(\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2)$
4. 规范正交基系数公式（定理 6.30(a)）：$v=\sum ⟨v,e_k⟩e_k$
5. ==帕塞瓦尔恒等式==（定理 6.30(b)）：$\Vert v{\Vert }^2=\sum |⟨v,e_k⟩{|}^2$
6. 内积按坐标计算（定理 6.30(c)）：$⟨u,v⟩=\sum ⟨u,e_k⟩\overline{⟨v,e_k⟩}$
7. ==格拉姆-施密特公式==（定理 6.32）：$f_k=v_k-{\sum }_{j=1}^{k-1}\frac{⟨v_k,f_j⟩}{\Vert f_j{\Vert }^2}{f}_j$
8. ==舒尔定理==（定理 6.38）：复内积空间上每个算子都关于某个规范正交基有上三角矩阵
9. ==里斯表示定理==（定理 6.42）：$\phi (u)=⟨u,v⟩$，$v$ 唯一
10. ==直和分解==（定理 6.49）：$V=U\oplus U^{\perp }$
11. 正交补维数（定理 6.51）：$\dim U^{\perp }=\dim V-\dim U$
12. ==双重正交补==（定理 6.52）：$(U^{\perp }{)}^{\perp }=U$
13. ==正交投影公式==（定理 6.57(i)）：$P_{U}v={\sum }_{j=1}^m⟨v,e_j⟩e_j$
14. ==最短距离定理==（定理 6.61）：$\Vert v-u\Vert$ 最小 $\iff$ $u=P_{U}v$
15. ==伪逆核心等式==（定理 6.69）：$T{T}^{†}=P_{\text{range}T}$，$T^{†}T=P_{(\text{null}T{)}^{\perp }}$

易错提醒

• 内积是 sesquilinear 的：第一位置线性，第二位置共轭线性——$⟨u,\lambda v⟩=\bar{\lambda }⟨u,v⟩$
• 柯西-施瓦兹等号条件是”标量倍”（任意复数），三角不等式等号条件是”非负实数倍”（更严格）
• 格拉姆-施密特过程要求输入组线性无关，否则 $f_k$ 可能为零
• 舒尔定理要求 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$，实数域上不一定成立
• 里斯表示定理中，$\phi (u)=⟨u,v⟩$ 的 $v$ 在第二位置——因为内积对第二位置共轭线性，而 $\phi$ 是线性的
• 正交补的维数公式 $\dim U^{\perp }=\dim V-\dim U$ 依赖有限维条件
• 正交投影 $P_U$ 的零空间是 $U^{\perp }$（不是某个任意补空间），这是”正交”投影区别于普通投影的关键
• 伪逆 $T^{†}$ 是逆的推广：$T$ 可逆时 $T^{†}=T^{-1}$；$T$ 不可逆时 $T^{†}$ 给出最佳近似解

内积空间