7.3 其他分布参数的假设检验

相关笔记：7.1 假设检验的基本思想与概念 | 7.2 正态总体参数的假设检验 | 4.4 中心极限定理 | 6.6 区间估计 | 2.4 常用离散分布 | 2.5 常用连续分布

本节概览

本节将假设检验方法从正态总体推广到其他分布。核心工具是大样本理论：当样本量足够大时，由中心极限定理，样本均值（或样本比例）的标准化量近似服从标准正态分布。本节重点介绍比例检验（单总体和两总体）以及泊松分布参数检验，这些方法在医学、社会科学和工程中有广泛应用。

逻辑链条：大样本理论 → 单总体比例 → 两总体比例差 → 泊松参数 → 其他分布 → 方法选择

前置依赖：§7.1（假设检验基本概念）、§7.2（正态总体检验方法）、§4.4（CLT）、§6.6（大样本置信区间）

核心主线：非正态总体参数检验的核心是”大样本正态近似”——由CLT保证，当n充分大时，检验统计量近似服从正态分布。比例检验是最重要的非正态检验场景，其检验统计量 $u=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ 在 $H_0$ 成立时近似 $N(0,1)$。

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一、大样本检验的一般理论

在§7.2中，我们讨论了正态总体参数的检验方法，其核心是利用正态分布、$t$ 分布、${\chi }^2$ 分布和 $F$ 分布等精确分布来构造检验统计量。然而，在实际应用中，很多总体的分布类型是未知的或非正态的。此时，我们无法直接使用§7.2中的方法。大样本检验理论为解决这一问题提供了有力工具。

大样本检验的基本思想

定义 7.3.1 — 大样本检验

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是来自总体 $X$ 的样本，$E[X]=\theta$，$\text{Var}[X]={\sigma }^2(\theta )<+\infty$，其中 $\theta$ 为待检验参数。当样本量 $n$ 充分大时，利用中心极限定理，构造检验统计量

$$u=\frac{n(\bar{X}-\theta )}{{\sigma }^2(\hat{\theta })}$$

其中 $\hat{\theta }$ 为 $\theta$ 的相合估计。在 $H_0$ 成立时，$u$ 近似服从 $N(0,1)$，由此可构造近似拒绝域。这种检验方法称为大样本检验。

核心要点：

• 大样本检验不要求总体服从正态分布，但要求总体均值和方差存在且有限。
• “大样本”的具体含义取决于总体分布：对于比例检验，通常要求 $n{p}_0⩾5$ 且 $n(1-p_0)⩾5$（更严格的要求是 $n{p}_0⩾10$）。
• 大样本检验是一种近似检验，其近似精度随样本量增大而提高。

渐近正态性定理

定理 7.3.1 — 大样本检验的渐近正态性

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n\stackrel{\text{iid}}{\sim }F(x;\theta )$，$E[X]=\theta$，$\text{Var}[X]={\sigma }^2(\theta )<+\infty$，$\hat{\theta }$ 为 $\theta$ 的相合估计。则在 $H_0:\theta ={\theta }_0$ 成立时，

$$u=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\theta }_0)}{\sigma (\hat{\theta })}\stackrel{L}{\to }N(0,1),n\to \infty$$

证明

证明：

第一步：由CLT建立标准化量的渐近分布。由中心极限定理（Lindeberg-Levy形式），当 $n\to \infty$ 时，

$$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\theta )}{\sigma (\theta )}\stackrel{L}{\to }N(0,1).$$

这一步要求 ${\sigma }^2(\theta )<+\infty$，即总体方差有限。

第二步：用相合估计替换未知参数。在 $H_0:\theta ={\theta }_0$ 成立时，$\theta ={\theta }_0$，但 $\sigma (\theta )$ 中可能含有未知参数。由于 $\hat{\theta }$ 是 $\theta$ 的相合估计，由 Slutsky 定理，

$$\frac{\sigma (\hat{\theta })}{\sigma (\theta )}\stackrel{P}{\to }1,n\to \infty .$$

因此，

$$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\theta }_0)}{\sigma (\hat{\theta })}=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\theta }_0)}{\sigma (\theta )}\cdot \frac{\sigma (\theta )}{\sigma (\hat{\theta })}\stackrel{L}{\to }N(0,1)\cdot 1=N(0,1).$$

第三步：结论。在 $H_0$ 成立时，检验统计量 $u$ 的渐近分布为 $N(0,1)$，因此可以用标准正态分布的分位数来确定近似拒绝域。 $\square$

大样本检验的适用条件

大样本检验并非万能的，它需要满足以下条件：

条件	说明
有限方差	总体方差 ${\sigma }^2(\theta )<+\infty$，排除 Cauchy 分布等重尾分布
样本量充分大	具体要求因分布类型而异（比例检验：$n{p}_0⩾5$，$n(1-p_0)⩾5$）
独立同分布	样本为简单随机样本
相合估计	$\hat{\theta }$ 是 $\theta$ 的相合估计

与正态总体检验的关系

大样本检验与正态总体检验的关系可以概括为：

• 正态总体检验：精确检验，不依赖样本量大小，利用精确的抽样分布（$t$、${\chi }^2$、$F$）。
• 大样本检验：近似检验，依赖样本量充分大，利用CLT保证的渐近正态性。
• 当总体确实服从正态分布时，应优先使用正态总体检验（更精确）；当总体分布未知或非正态时，大样本检验是唯一可行的方法。

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二、比例的检验

比例检验是大样本检验中最重要的应用场景。在实际问题中，我们经常需要检验总体比例（如产品合格率、选民支持率、疾病发病率等）是否等于某个特定值。

单个总体比例的检验

定义 7.3.2 — 单个总体比例的检验

设总体 $X\sim B(1,p)$（即 $X$ 服从参数为 $p$ 的伯努利分布），$X_1,X_2,\dots ,X_n$ 为来自该总体的样本。记 ${\sum }_{i=1}^n{X}_i=m$（成功次数），$\hat{p}=m/n$（样本比例）。对比例 $p$ 的检验问题：

检验类型	原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$
双边检验	$H_0:p=p_0$	$H_1:p\ne p_0$
右边检验	$H_0:p⩽p_0$	$H_1:p>p_0$
左边检验	$H_0:p⩾p_0$	$H_1:p<p_0$

当 $n{p}_0⩾5$ 且 $n(1-p_0)⩾5$ 时，在 $H_0$ 成立的条件下，构造检验统计量：

$$u=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$$

$u$ 近似服从 $N(0,1)$。

拒绝域（显著性水平 $\alpha$）：

检验类型	拒绝域
双边检验	${
右边检验	$\{u⩾u_{1-\alpha }\}$
左边检验	$\{u⩽u_{\alpha }\}=\{u⩽-u_{1-\alpha }\}$

定理 7.3.2 — 比例检验的渐近正态性

设 $X_1,\dots ,X_n\stackrel{\text{iid}}{\sim }B(1,p)$，$\hat{p}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$。则在 $H_0:p=p_0$ 成立时，

$$u=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\stackrel{L}{\to }N(0,1),n\to \infty$$

且近似效果在 $n{p}_0⩾5$ 且 $n(1-p_0)⩾5$ 时已经相当好。

证明

证明：

第一步：分析样本比例的分布。${\sum }_{i=1}^n{X}_i\sim B(n,p)$，因此 $E[\hat{p}]=p$，$\text{Var}[\hat{p}]=p(1-p)/n$。

第二步：应用中心极限定理。由De Moivre-Laplace 中心极限定理，当 $n\to \infty$ 时，

$$\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\stackrel{L}{\to }N(0,1).$$

第三步：在 $H_0$ 下代入 $p=p_0$。在 $H_0:p=p_0$ 成立时，

$$u=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\stackrel{L}{\to }N(0,1).$$

注意这里分母使用的是 $p_0$（$H_0$ 下的值）而非 $\hat{p}$，这是因为在 $H_0$ 成立时 $p_0$ 是已知的，使用 $p_0$ 可以得到更好的近似效果。 $\square$

例题

例题 1 — 产品合格率检验

某工厂声称其产品合格率为 95%。现从一批产品中随机抽取 200 件进行检验，发现其中有 186 件合格。在 $\alpha =0.05$ 下检验该工厂的声明是否可信。

解：

设 $p$ 为产品合格率。$H_0:p=0.95$ vs $H_1:p\ne 0.95$（双边检验）。

$\hat{p}=186/200=0.93$。

检查条件：$n{p}_0=200\times 0.95=190⩾5$，$n(1-p_0)=200\times 0.05=10⩾5$。条件满足。

计算检验统计量：

$$u=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}=\frac{0.93-0.95}{\sqrt{0.95\times 0.05/200}}=\frac{-0.02}{\sqrt{0.0002375}}=\frac{-0.02}{0.01541}=-1.298$$

$\alpha =0.05$，$u_{0.975}=1.96$。

$|u|=1.298<1.96$，未落入拒绝域，故不拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 水平下，没有充分证据否定该工厂”合格率为 95%“的声明。

p 值：$p=2(1-\Phi (1.298))=2\times 0.0970=0.194$。

例题 2 — 选举支持率检验

某候选人声称其支持率不低于 40%。某民意调查机构随机调查了 500 名选民，其中 195 人表示支持该候选人。在 $\alpha =0.05$ 下检验该候选人的声明。

解：

设 $p$ 为支持率。$H_0:p⩾0.40$ vs $H_1:p<0.40$（左边检验）。

$\hat{p}=195/500=0.39$。

检查条件：$n{p}_0=500\times 0.40=200⩾5$，$n(1-p_0)=500\times 0.60=300⩾5$。条件满足。

计算检验统计量：

$$u=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}=\frac{0.39-0.40}{\sqrt{0.40\times 0.60/500}}=\frac{-0.01}{\sqrt{0.00048}}=\frac{-0.01}{0.02191}=-0.456$$

$\alpha =0.05$，$u_{0.05}=-u_{0.95}=-1.645$。拒绝域为 $\{u⩽-1.645\}$。

$u=-0.456>-1.645$，未落入拒绝域，故不拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 水平下，没有充分证据否定该候选人”支持率不低于 40%“的声明。

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三、两个比例的比较检验

在许多实际问题中，我们需要比较两个总体的比例是否有显著差异。例如，比较两种治疗方法的有效率、比较两个地区的投票倾向等。

两个总体比例差的检验

定义 7.3.3 — 两个总体比例差的检验

设 $X_1,\dots ,X_m\stackrel{\text{iid}}{\sim }B(1,p_1)$，$Y_1,\dots ,Y_n\stackrel{\text{iid}}{\sim }B(1,p_2)$，两样本独立。记 ${\hat{p}}_1=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{X}_i$，${\hat{p}}_2=\frac{1}{n}{\sum }_{j=1}^n{Y}_j$。对比例差的检验问题：

检验类型	原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$
双边检验	$H_0:p_1=p_2$	$H_1:p_1\ne p_2$
右边检验	$H_0:p_1⩽p_2$	$H_1:p_1>p_2$
左边检验	$H_0:p_1⩾p_2$	$H_1:p_1<p_2$

在 $H_0:p_1=p_2=p$ 成立时，使用合并比例估计公共比例：

$$\hat{p}=\frac{m{\hat{p}}_1+n{\hat{p}}_2}{m+n}$$

检验统计量为：

$$u=\frac{{\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/m+1/n)}}$$

当 $m$、$n$ 都充分大时，$u$ 近似服从 $N(0,1)$。

拒绝域（显著性水平 $\alpha$）：

检验类型	拒绝域
双边检验	${
右边检验	$\{u⩾u_{1-\alpha }\}$
左边检验	$\{u⩽u_{\alpha }\}$

定理 7.3.3 — 两比例差检验的渐近正态性

设 $X_1,\dots ,X_m\stackrel{\text{iid}}{\sim }B(1,p_1)$，$Y_1,\dots ,Y_n\stackrel{\text{iid}}{\sim }B(1,p_2)$，两样本独立。则在 $H_0:p_1=p_2$ 成立时，

$$u=\frac{{\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/m+1/n)}}\stackrel{L}{\to }N(0,1),\min (m,n)\to \infty$$

其中 $\hat{p}=\frac{m{\hat{p}}_1+n{\hat{p}}_2}{m+n}$ 为合并样本比例。

证明

证明：

第一步：分析 ${\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2$ 的分布。由于两样本独立，

$$E[{\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2]=p_1-p_2,\text{Var}[{\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2]=\frac{p_1(1-p_1)}{m}+\frac{p_2(1-p_2)}{n}.$$

第二步：在 $H_0$ 下简化。当 $H_0:p_1=p_2=p$ 成立时，

$$E[{\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2]=0,\text{Var}[{\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2]=p(1-p)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right).$$

第三步：应用CLT并替换未知参数。由CLT，

$$\frac{{\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2}{\sqrt{p(1-p)(1/m+1/n)}}\stackrel{L}{\to }N(0,1).$$

由于 $p$ 未知，用合并比例 $\hat{p}=\frac{m{\hat{p}}_1+n{\hat{p}}_2}{m+n}$ 估计 $p$。由 Slutsky 定理，

$$u=\frac{{\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/m+1/n)}}\stackrel{L}{\to }N(0,1).$$

$\square$

例题

例题 3 — 两种教学方法比较

某学校比较两种教学方法的效果。方法 A 教了 120 名学生，其中 50 名考试及格；方法 B 教了 85 名学生，其中 23 名考试及格。在 $\alpha =0.05$ 下检验两种方法的及格率是否有显著差异。

解：

$H_0:p_1=p_2$ vs $H_1:p_1\ne p_2$（双边检验）。

${\hat{p}}_1=50/120=0.4167$，${\hat{p}}_2=23/85=0.2706$。

合并比例：

$$\hat{p}=\frac{50+23}{120+85}=\frac{73}{205}=0.3561$$

检查条件：$m\hat{p}=120\times 0.3561=42.73⩾5$，$m(1-\hat{p})=120\times 0.6439=77.27⩾5$，$n\hat{p}=85\times 0.3561=30.27⩾5$，$n(1-\hat{p})=85\times 0.6439=54.73⩾5$。条件满足。

计算检验统计量：

$$u=\frac{0.4167-0.2706}{\sqrt{0.3561\times 0.6439\times (1/120+1/85)}}=\frac{0.1461}{\sqrt{0.2293\times 0.01618}}=\frac{0.1461}{\sqrt{0.003710}}=\frac{0.1461}{0.06091}=2.399$$

$\alpha =0.05$，$u_{0.975}=1.96$。

$|u|=2.399>1.96$，落入拒绝域，故拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 水平下，两种教学方法的及格率有显著差异，方法 A 的及格率显著高于方法 B。

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四、泊松分布参数的检验

泊松分布在计数数据中应用广泛，如单位时间内的电话呼叫次数、单位面积内的缺陷数等。对泊松分布参数 $\lambda$ 的检验有两种方法：大样本正态近似和精确的 ${\chi }^2$ 检验。

泊松分布参数 $\lambda$ 的检验

定义 7.3.4 — 泊松分布参数 $\lambda$ 的检验

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n\stackrel{\text{iid}}{\sim }\text{Po}(\lambda )$，其中 $\lambda >0$ 为未知参数。对 $\lambda$ 的检验问题：

检验类型	原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$
双边检验	$H_0:\lambda ={\lambda }_0$	$H_1:\lambda \ne {\lambda }_0$
右边检验	$H_0:\lambda ⩽{\lambda }_0$	$H_1:\lambda >{\lambda }_0$
左边检验	$H_0:\lambda ⩾{\lambda }_0$	$H_1:\lambda <{\lambda }_0$

方法一：大样本正态近似。当 $n{\lambda }_0$ 充分大（一般要求 $n{\lambda }_0⩾5$）时，检验统计量为：

$$u=\frac{\bar{X}-{\lambda }_0}{\sqrt{{\lambda }_0/n}}$$

在 $H_0$ 成立时，$u$ 近似服从 $N(0,1)$。

方法二：${\chi }^2$ 检验。利用泊松分布的可加性，${\sum }_{i=1}^n{X}_i\sim \text{Po}(n\lambda )$，在 $H_0$ 成立时，构造统计量：

$${\chi }^2=\frac{2{\sum }_{i=1}^n{X}_i}{{\lambda }_0}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2n\bar{X}}{{\lambda }_0}$$

更准确地说，当 $n{\lambda }_0$ 较大时，$\frac{2n\bar{X}}{{\lambda }_0}$ 近似服从 ${\chi }^2(2n)$（由泊松分布与 ${\chi }^2$ 分布的关系）。

定理 7.3.4 — 泊松分布参数检验的渐近正态性

设 $X_1,\dots ,X_n\stackrel{\text{iid}}{\sim }\text{Po}(\lambda )$。则在 $H_0:\lambda ={\lambda }_0$ 成立时，

$$u=\frac{\bar{X}-{\lambda }_0}{\sqrt{{\lambda }_0/n}}\stackrel{L}{\to }N(0,1),n\to \infty$$

且当 $n{\lambda }_0⩾5$ 时近似效果已经较好。

证明

证明：

第一步：分析泊松分布的矩。若 $X\sim \text{Po}(\lambda )$，则 $E[X]=\lambda$，$\text{Var}[X]=\lambda$。因此 $E[\bar{X}]=\lambda$，$\text{Var}[\bar{X}]=\lambda /n$。

第二步：应用中心极限定理。由Lindeberg-Levy CLT，

$$\frac{\bar{X}-\lambda }{\sqrt{\lambda /n}}\stackrel{L}{\to }N(0,1),n\to \infty .$$

第三步：在 $H_0$ 下代入 $\lambda ={\lambda }_0$。在 $H_0:\lambda ={\lambda }_0$ 成立时，

$$u=\frac{\bar{X}-{\lambda }_0}{\sqrt{{\lambda }_0/n}}\stackrel{L}{\to }N(0,1).$$

注意泊松分布的方差等于均值 $\lambda$，因此分母中不需要额外的方差估计，直接使用 ${\lambda }_0$ 即可。 $\square$

例题

例题 4 — 泊松分布参数检验

某十字路口平均每小时发生交通事故 2.5 起。交通管理部门实施新的交通管制措施后，随机观察了 20 个小时，共发生交通事故 38 起。在 $\alpha =0.05$ 下检验新措施是否降低了事故率。

解：

$H_0:\lambda ⩾2.5$ vs $H_1:\lambda <2.5$（左边检验）。

$\bar{x}=38/20=1.9$。

检查条件：$n{\lambda }_0=20\times 2.5=50⩾5$。条件满足。

计算检验统计量：

$$u=\frac{\bar{x}-{\lambda }_0}{\sqrt{{\lambda }_0/n}}=\frac{1.9-2.5}{\sqrt{2.5/20}}=\frac{-0.6}{\sqrt{0.125}}=\frac{-0.6}{0.3536}=-1.697$$

$\alpha =0.05$，$u_{0.05}=-1.645$。拒绝域为 $\{u⩽-1.645\}$。

$u=-1.697<-1.645$，落入拒绝域，故拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 水平下，有充分证据表明新交通管制措施降低了事故率。

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五、其他分布参数的检验

指数分布参数的检验

设 $X_1,\dots ,X_n\stackrel{\text{iid}}{\sim }\text{Exp}(1/\theta )$，其中 $\theta =E[X]$ 为均值参数。对 $\theta$ 的检验可以利用指数分布与 ${\chi }^2$ 分布的关系。

关键性质：若 $X\sim \text{Exp}(1/\theta )$，则 $\frac{2X}{\theta }\sim {\chi }^2(2)$。因此，

$$\frac{2n\bar{X}}{\theta }\sim {\chi }^2(2n)$$

在 $H_0:\theta ={\theta }_0$ 成立时，${\chi }_0^2=\frac{2n\bar{X}}{{\theta }_0}\sim {\chi }^2(2n)$。

拒绝域：

检验类型	拒绝域
双边检验	$\{{\chi }_0^2<{\chi }_{\alpha /2}^2(2n)\}\cup \{{\chi }_0^2>{\chi }_{1-\alpha /2}^2(2n)\}$
右边检验	$\{{\chi }_0^2>{\chi }_{1-\alpha }^2(2n)\}$
左边检验	$\{{\chi }_0^2<{\chi }_{\alpha }^2(2n)\}$

例题 5 — 指数分布参数检验

某电子元件的寿命服从指数分布，厂商声称平均寿命不低于 6000 小时。现抽取 10 个元件进行寿命试验，测得平均寿命 $\bar{x}=4462.6$ 小时。在 $\alpha =0.05$ 下检验厂商的声明。

解：

$H_0:\theta ⩾6000$ vs $H_1:\theta <6000$（左边检验）。

计算检验统计量：

$${\chi }_0^2=\frac{2n\bar{x}}{{\theta }_0}=\frac{2\times 10\times 4462.6}{6000}=\frac{89252}{6000}=14.875$$

$\alpha =0.05$，${\chi }_{0.05}^2(20)=10.851$。拒绝域为 $\{{\chi }_0^2<10.851\}$。

${\chi }_0^2=14.875>10.851$，未落入拒绝域，故不拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 水平下，没有充分证据否定厂商”平均寿命不低于 6000 小时”的声明。

两个指数分布参数的比较

设 $X_1,\dots ,X_m\stackrel{\text{iid}}{\sim }\text{Exp}(1/{\theta }_1)$，$Y_1,\dots ,Y_n\stackrel{\text{iid}}{\sim }\text{Exp}(1/{\theta }_2)$，两样本独立。检验 $H_0:{\theta }_1={\theta }_2$。

利用指数分布的性质，$\frac{\bar{X}}{\bar{Y}}\sim F(2m,2n)$（在 $H_0$ 成立时），因此可以使用 $F$ 检验。

二项分布参数的精确检验（小样本）

当样本量不满足大样本条件时（如 $n{p}_0<5$ 或 $n(1-p_0)<5$），正态近似不可靠，此时应使用二项分布的精确检验。

对于 $H_0:p⩽p_0$ vs $H_1:p>p_0$，拒绝域的形式为 $\{{\sum }_{i=1}^n{X}_i⩾c\}$，其中临界值 $c$ 由

$$P\left(\sum _{i=1}^n{X}_i⩾c\right)=\sum _{i=c}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p_0^i(1-p_0{)}^{n-i}⩽\alpha$$

确定。由于二项分布是离散分布，通常无法精确达到显著性水平 $\alpha$，因此取满足上式的最小 $c$。

例题 6 — 二项分布精确检验

某硬币声称是均匀的。抛掷 15 次，出现 11 次正面。在 $\alpha =0.05$ 下检验该硬币是否均匀。

解：

$H_0:p⩽0.5$ vs $H_1:p>0.5$（右边检验）。

$n=15$，$n{p}_0=15\times 0.5=7.5$，虽然满足 $n{p}_0⩾5$，但为了演示精确检验方法，我们使用精确检验。

在 $H_0:p=0.5$ 下，${\sum }_{i=1}^{15}{X}_i\sim B(15,0.5)$。

$$P\left(\sum _{i=1}^{15}{X}_i⩾11\right)=\sum _{i=11}^{15}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{i}\right)0.5^{15}$$ $$=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{11}\right)0.5^{15}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{12}\right)0.5^{15}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{13}\right)0.5^{15}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{14}\right)0.5^{15}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{15}\right)0.5^{15}$$ $$=(1365+455+105+15+1)\times 0.5^{15}=1941/32768\approx 0.0592$$

p 值 $\approx 0.0592>0.05$，故不拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 水平下，没有充分证据表明该硬币不均匀。

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六、检验方法选择总结

决策树

graph TB
    A[非正态总体参数检验] --> B{总体类型?}
    B --> C[二项分布/比例]
    B --> D[泊松分布]
    B --> E[指数分布]
    B --> F[其他分布]
    C --> G{样本量条件?}
    G --> H[大样本: np₀≥5且n1-p₀≥5]
    G --> I[小样本: 精确检验]
    H --> J[u检验: 正态近似]
    I --> K[二项分布精确检验]
    D --> L{nλ₀≥5?}
    L --> M[是: u检验]
    L --> N[否: χ²检验或精确检验]
    E --> O[χ²检验: 2nX̄/θ₀]
    F --> P{大样本?}
    P --> Q[是: 大样本u检验]
    P --> R[否: 非参数方法]

检验方法对照表

检验场景	检验统计量	分布	适用条件
单总体比例 $p$	$u=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$	近似 $N(0,1)$	$n{p}_0⩾5$，$n(1-p_0)⩾5$
两总体比例差	$u=\frac{{\hat{p}}_1-{\hat{p}}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/m+1/n)}}$	近似 $N(0,1)$	$m,n$ 都充分大
泊松参数 $\lambda$	$u=\frac{\bar{X}-{\lambda }_0}{\sqrt{{\lambda }_0/n}}$	近似 $N(0,1)$	$n{\lambda }_0⩾5$
指数参数 $\theta$	${\chi }^2=\frac{2n\bar{X}}{{\theta }_0}$	${\chi }^2(2n)$	任意样本量
大样本一般	$u=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-{\theta }_0)}{\sigma (\hat{\theta })}$	近似 $N(0,1)$	$n$ 充分大

正态 vs 非正态检验对照

对比维度	正态总体检验	非正态大样本检验
理论基础	精确抽样分布	CLT 渐近正态性
样本量要求	任意	充分大
检验精度	精确	近似
分布假设	正态分布	有限方差
统计量类型	$u$/$t$/${\chi }^2$/$F$	主要为 $u$

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七、知识结构总览

graph TB
    A[其他分布参数检验] --> B[大样本检验理论]
    A --> C[比例检验]
    A --> D[泊松参数检验]
    A --> E[指数参数检验]
    A --> F[小样本精确检验]
    B --> B1[CLT渐近正态性]
    B --> B2[Slutsky定理]
    C --> C1[单总体比例检验]
    C --> C2[两总体比例差检验]
    C1 --> C1a[正态近似u检验]
    C1 --> C1b[二项精确检验]
    D --> D1[正态近似u检验]
    D --> D2[χ²检验]
    E --> E1[χ²检验]
    E --> E2[F检验: 两总体比较]
    F --> F1[离散分布精确检验]

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八、核心思想与解题技巧

大样本检验的解题步骤

大样本检验四步法

1. 建立假设：写出 $H_0$ 和 $H_1$，明确检验类型（双边/单边）。
2. 验证条件：检查大样本条件是否满足（比例检验：$n{p}_0⩾5$ 且 $n(1-p_0)⩾5$；泊松检验：$n{\lambda }_0⩾5$）。
3. 计算统计量：代入公式计算检验统计量的观测值。
4. 判断决策：与临界值比较，做出统计判断，给出实际意义解释。

常见题型总结

1. 比例检验题：给定样本中成功次数和样本量，检验总体比例是否等于/大于/小于某个值。注意区分分母使用 $p_0$（$H_0$ 下的值）还是 $\hat{p}$（样本估计值）。
2. 两比例比较题：给定两组独立样本的成功次数，检验两个总体比例是否相等。关键在于使用合并比例而非各自的比例。
3. 泊松参数检验题：给定计数数据和观察时间/面积，检验事件发生率是否等于某个值。
4. 指数分布检验题：给定寿命数据，利用 ${\chi }^2$ 分布进行检验。
5. 方法选择题：根据总体类型和样本量条件，判断应使用哪种检验方法。

大样本检验与置信区间的关系

与§7.2中的对偶关系类似，大样本检验与置信区间也存在对偶关系：

• $H_0:p=p_0$ 的双边检验不拒绝 $\iff$ $p_0$ 落在 $p$ 的 $1-\alpha$ 置信区间内。
• 单边检验的拒绝域对应单侧置信界。

例如，$p$ 的 $1-\alpha$ 大样本置信区间为

$$\hat{p}\pm u_{1-\alpha /2}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$$

如果 $p_0$ 不在该区间内，则在水平 $\alpha$ 下拒绝 $H_0:p=p_0$。

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九、补充理解与易混淆点

误区一：“大样本检验不需要任何分布假设”

正确理解：大样本检验虽然不要求总体服从正态分布，但仍然需要一定的分布条件。最基本的要求是总体方差 ${\sigma }^2(\theta )<+\infty$（有限方差条件），这排除了 Cauchy 分布等方差无限的分布。此外，还需要样本独立同分布、以及检验统计量中涉及的参数有相合估计。大样本检验放宽了分布类型假设，但并未完全消除分布假设。如果总体的偏度非常大或存在严重的离群值，即使样本量较大，正态近似的精度也可能不够理想。

来源：茆诗松《概率论与数理统计》§7.3 | §4.4（CLT的条件）| Casella & Berger Statistical Inference Ch.10 | CSDN: 非正态总体的参数假设检验 | Khan Academy: Conditions for Inference

误区二：“比例检验的样本量没有下限”

正确理解：比例检验使用正态近似，其精度依赖于 $n{p}_0$ 和 $n(1-p_0)$ 都足够大。经典要求是 $n{p}_0⩾5$ 且 $n(1-p_0)⩾5$，更严格的要求是 $n{p}_0⩾10$ 且 $n(1-p_0)⩾10$。当 $p_0$ 接近 0 或 1 时，即使 $n$ 很大，也可能不满足条件。例如 $p_0=0.01$ 时，需要 $n⩾500$ 才能使 $n{p}_0=5$。不满足条件时应使用二项分布的精确检验，而非强行使用正态近似。

来源：茆诗松《概率论与数理统计》§7.3 | Fiveable: Large Counts Condition | CSDN: 二项分布检验原理 | Wackerly Mathematical Statistics Ch.10 | Agresti & Coull (1998) The American Statistician

误区三：“两个比例检验可以直接用各自的标准误”

正确理解：在检验 $H_0:p_1=p_2$ 时，分母中的标准误必须使用合并比例 $\hat{p}=\frac{m{\hat{p}}_1+n{\hat{p}}_2}{m+n}$ 来计算，即

$$\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/m+1/n)}$$

而非使用各自的比例计算 $\sqrt{{\hat{p}}_1(1-{\hat{p}}_1)/m+{\hat{p}}_2(1-{\hat{p}}_2)/n}$。原因在于：在 $H_0$ 成立时，$p_1=p_2=p$，合并比例是公共比例 $p$ 的最优估计，使用它可以获得更好的近似效果。后者适用于构造 $p_1-p_2$ 的置信区间（此时不假设 $p_1=p_2$），但不适用于假设检验。检验和估计的标准误计算方式不同，这是初学者容易混淆的地方。

来源：茆诗松《概率论与数理统计》§7.3 | Book118: 大样本检验试题及答案 | Casella & Berger Statistical Inference Ch.10 | Rice Mathematical Statistics and Data Analysis Ch.9 | CSDN: 假设检验知识点总结

误区四：“泊松分布参数检验只能用正态近似”

正确理解：泊松分布参数 $\lambda$ 的检验有多种方法。大样本正态近似 $u=\frac{\bar{X}-{\lambda }_0}{\sqrt{{\lambda }_0/n}}$ 只在 $n{\lambda }_0$ 充分大时才可靠。当 $n{\lambda }_0$ 较小时，可以利用泊松分布与 ${\chi }^2$ 分布的关系：若 $S={\sum }_{i=1}^n{X}_i\sim \text{Po}(n\lambda )$，则 $P(S⩽s)=P({\chi }^2(2(s+1))>2n\lambda )$，这提供了精确的 p 值计算方法。此外，还可以直接使用泊松分布表进行精确检验。方法的选择取决于样本量和期望计数的大小。

来源：茆诗松《概率论与数理统计》§7.3 | §2.4（泊松分布的性质）| Casella & Berger Statistical Inference Ch.8 | Book118: 考研真题概率论数理统计 | Lehmann & Romano Testing Statistical Hypotheses Ch.3

误区五：“p 值在大样本检验中总是准确的”

正确理解：大样本检验中的 p 值是基于渐近分布计算的，其准确性依赖于渐近近似的精度。当样本量不够大或总体分布严重偏离正态时，渐近 p 值可能与真实的 p 值有较大偏差。此外，大样本下容易出现”统计显著但实际不显著”的问题——当 $n$ 非常大时，即使 $p$ 与 $p_0$ 的差异微乎其微，检验也可能拒绝 $H_0$。因此，在大样本检验中，除了关注 p 值，还应关注效应量（effect size），即参数差异的实际大小。p 值只度量统计显著性，不度量实际重要性。

来源：茆诗松《概率论与数理统计》§7.3 | Wasserstein & Lazar (2016) ASA Statement on p-Values | Sullivan & Feinn (2012) PT: Effect Size | Nature: p-value FAQ | Cohen (1994) Psychological Bulletin: The Earth Is Round (p < .05)

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十、习题精选

习题概览

教材习题（6题）：第1-6题覆盖比例检验、两比例比较、泊松参数检验、指数分布检验和二项精确检验。 考研真题（4题）：第7-10题为卡方考研真题，涉及非正态总体参数检验的综合应用。

教材习题

习题 1 — 单总体比例检验

某药品声称对某种疾病的有效率为 80%。临床试验中，200 名患者服用该药后有 148 名有效。在 $\alpha =0.05$ 下检验该药品的有效率是否低于声称值。

解：

$H_0:p⩾0.80$ vs $H_1:p<0.80$（左边检验）。

$\hat{p}=148/200=0.74$。

检查条件：$n{p}_0=200\times 0.80=160⩾5$，$n(1-p_0)=200\times 0.20=40⩾5$。条件满足。

$$u=\frac{0.74-0.80}{\sqrt{0.80\times 0.20/200}}=\frac{-0.06}{\sqrt{0.0008}}=\frac{-0.06}{0.02828}=-2.121$$

$\alpha =0.05$，$u_{0.05}=-1.645$。$u=-2.121<-1.645$，落入拒绝域，故拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 水平下，有充分证据表明该药品的有效率低于 80%。

p 值：$p=\Phi (-2.121)=1-\Phi (2.121)\approx 0.0170$。

习题 2 — 两总体比例差检验

某研究者比较城市和农村居民对某政策的支持率。调查了城市居民 300 人，支持率为 65%；调查了农村居民 250 人，支持率为 55%。在 $\alpha =0.01$ 下检验城市和农村的支持率是否有显著差异。

解：

$H_0:p_1=p_2$ vs $H_1:p_1\ne p_2$（双边检验）。

${\hat{p}}_1=0.65$，${\hat{p}}_2=0.55$。

合并比例：

$$\hat{p}=\frac{300\times 0.65+250\times 0.55}{300+250}=\frac{195+137.5}{550}=\frac{332.5}{550}=0.6045$$ $$u=\frac{0.65-0.55}{\sqrt{0.6045\times 0.3955\times (1/300+1/250)}}=\frac{0.10}{\sqrt{0.2391\times 0.007333}}=\frac{0.10}{\sqrt{0.001753}}=\frac{0.10}{0.04187}=2.388$$

$\alpha =0.01$，$u_{0.995}=2.576$。$|u|=2.388<2.576$，未落入拒绝域，故不拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.01$ 水平下，没有充分证据表明城市和农村居民的支持率有显著差异。

注意：若取 $\alpha =0.05$，$u_{0.975}=1.96$，$|u|=2.388>1.96$，则拒绝 $H_0$。这说明结论依赖于显著性水平的选择。

习题 3 — 泊松分布参数检验

某工厂声称其产品每平方米的缺陷数不超过 3 个。质检部门随机抽查了 30 平方米的产品表面，共发现缺陷 105 个。在 $\alpha =0.05$ 下检验该工厂的声明。

解：

$H_0:\lambda ⩽3$ vs $H_1:\lambda >3$（右边检验）。

$\bar{x}=105/30=3.5$。

检查条件：$n{\lambda }_0=30\times 3=90⩾5$。条件满足。

$$u=\frac{3.5-3}{\sqrt{3/30}}=\frac{0.5}{\sqrt{0.1}}=\frac{0.5}{0.3162}=1.581$$

$\alpha =0.05$，$u_{0.95}=1.645$。$u=1.581<1.645$，未落入拒绝域，故不拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 水平下，没有充分证据否定该工厂”每平方米缺陷数不超过 3 个”的声明。

习题 4 — 指数分布参数检验

某型号灯泡的寿命服从指数分布，标准规定平均寿命不低于 5000 小时。现抽取 8 个灯泡进行试验，测得平均寿命 $\bar{x}=4200$ 小时。在 $\alpha =0.10$ 下检验该型号灯泡是否符合标准。

解：

$H_0:\theta ⩾5000$ vs $H_1:\theta <5000$（左边检验）。

$${\chi }_0^2=\frac{2n\bar{x}}{{\theta }_0}=\frac{2\times 8\times 4200}{5000}=\frac{67200}{5000}=13.44$$

$\alpha =0.10$，${\chi }_{0.10}^2(16)=9.312$。拒绝域为 $\{{\chi }_0^2<9.312\}$。

${\chi }_0^2=13.44>9.312$，未落入拒绝域，故不拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.10$ 水平下，没有充分证据表明该型号灯泡不符合标准。

习题 5 — 大样本一般检验

某地区居民月收入的总体分布未知，但已知方差有限。随机抽取 100 名居民，测得月平均收入为 5500 元，样本标准差为 1200 元。在 $\alpha =0.05$ 下检验该地区居民月平均收入是否高于 5000 元。

解：

$H_0:\theta ⩽5000$ vs $H_1:\theta >5000$（右边检验）。

总体分布未知，使用大样本检验。$\hat{\sigma }=s=1200$。

$$u=\frac{\bar{x}-{\theta }_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{5500-5000}{1200/\sqrt{100}}=\frac{500}{120}=4.167$$

$\alpha =0.05$，$u_{0.95}=1.645$。$u=4.167>1.645$，落入拒绝域，故拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 水平下，有充分证据表明该地区居民月平均收入高于 5000 元。

习题 6 — 两总体比例差的单边检验

某公司比较两种广告方案的效果。方案 A 展示给 400 名用户，120 人点击；方案 B 展示给 350 名用户，84 人点击。在 $\alpha =0.05$ 下检验方案 A 的点击率是否显著高于方案 B。

解：

$H_0:p_1⩽p_2$ vs $H_1:p_1>p_2$（右边检验）。

${\hat{p}}_1=120/400=0.30$，${\hat{p}}_2=84/350=0.24$。

合并比例：

$$\hat{p}=\frac{120+84}{400+350}=\frac{204}{750}=0.272$$ $$u=\frac{0.30-0.24}{\sqrt{0.272\times 0.728\times (1/400+1/350)}}=\frac{0.06}{\sqrt{0.1980\times 0.005357}}=\frac{0.06}{\sqrt{0.001061}}=\frac{0.06}{0.03257}=1.842$$

$\alpha =0.05$，$u_{0.95}=1.645$。$u=1.842>1.645$，落入拒绝域，故拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 水平下，方案 A 的点击率显著高于方案 B。

考研真题

习题 7 — 考研真题（卡方学院）

某地区环保部门监测发现，某河流断面水质达标率的标准为不低于 90%。现从近期监测数据中随机抽取 80 个样本，其中有 11 个不达标。在 $\alpha =0.05$ 下检验该河流断面水质达标率是否符合标准。

解：

设 $p$ 为不达标率。$H_0:p⩽0.10$ vs $H_1:p>0.10$（右边检验）。

$\hat{p}=11/80=0.1375$。

检查条件：$n{p}_0=80\times 0.10=8⩾5$，$n(1-p_0)=80\times 0.90=72⩾5$。条件满足。

$$u=\frac{0.1375-0.10}{\sqrt{0.10\times 0.90/80}}=\frac{0.0375}{\sqrt{0.001125}}=\frac{0.0375}{0.03354}=1.118$$

$\alpha =0.05$，$u_{0.95}=1.645$。$u=1.118<1.645$，未落入拒绝域，故不拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 水平下，没有充分证据表明水质不达标率超过 10%，即达标率符合标准。

习题 8 — 考研真题（卡方学院）

某医院研究两种手术方案的成功率。方案 A 对 120 名患者实施，成功 50 例；方案 B 对 85 名患者实施，成功 23 例。在 $\alpha =0.05$ 下检验两种手术方案的成功率是否有显著差异。

解：

$H_0:p_1=p_2$ vs $H_1:p_1\ne p_2$（双边检验）。

${\hat{p}}_1=50/120=0.4167$，${\hat{p}}_2=23/85=0.2706$。

合并比例：

$$\hat{p}=\frac{50+23}{120+85}=\frac{73}{205}=0.3561$$ $$u=\frac{0.4167-0.2706}{\sqrt{0.3561\times 0.6439\times (1/120+1/85)}}=\frac{0.1461}{\sqrt{0.2293\times 0.01618}}=\frac{0.1461}{0.06091}=2.399$$

$\alpha =0.05$，$u_{0.975}=1.96$。$|u|=2.399>1.96$，落入拒绝域，故拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 水平下，两种手术方案的成功率有显著差异。

习题 9 — 考研真题（卡方学院）

设 $X_1,\dots ,X_n\stackrel{\text{iid}}{\sim }\text{Po}(\lambda )$，其中 $\lambda >0$ 未知。给出检验 $H_0:\lambda ={\lambda }_0$ vs $H_1:\lambda \ne {\lambda }_0$ 的大样本检验统计量，并说明其渐近分布。若 $n=30$，$\bar{x}=5.2$，${\lambda }_0=4.5$，在 $\alpha =0.05$ 下给出检验结论。

解：

检验统计量为：

$$u=\frac{\bar{X}-{\lambda }_0}{\sqrt{{\lambda }_0/n}}$$

在 $H_0$ 成立时，$u$ 近似服从 $N(0,1)$。

检查条件：$n{\lambda }_0=30\times 4.5=135⩾5$。条件满足。

计算观测值：

$$u_0=\frac{5.2-4.5}{\sqrt{4.5/30}}=\frac{0.7}{\sqrt{0.15}}=\frac{0.7}{0.3873}=1.807$$

$\alpha =0.05$，$u_{0.975}=1.96$。$|u_0|=1.807<1.96$，未落入拒绝域，故不拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.05$ 水平下，没有充分证据表明 $\lambda \ne 4.5$。

习题 10 — 考研真题（卡方学院）

设 $X_1,\dots ,X_m\stackrel{\text{iid}}{\sim }\text{Exp}(1/{\theta }_1)$，$Y_1,\dots ,Y_n\stackrel{\text{iid}}{\sim }\text{Exp}(1/{\theta }_2)$，两样本独立。给出检验 $H_0:{\theta }_1={\theta }_2$ vs $H_1:{\theta }_1\ne {\theta }_2$ 的检验统计量及其分布。若 $m=8$，$n=6$，$\bar{x}=120$，$\bar{y}=80$，在 $\alpha =0.10$ 下给出检验结论。

解：

由于 $\frac{2m\bar{X}}{{\theta }_1}\sim {\chi }^2(2m)$，$\frac{2n\bar{Y}}{{\theta }_2}\sim {\chi }^2(2n)$，且两统计量独立，在 $H_0:{\theta }_1={\theta }_2=\theta$ 成立时，

$$F=\frac{\bar{X}}{\bar{Y}}\sim F(2m,2n)$$

计算观测值：

$$F_0=\frac{\bar{x}}{\bar{y}}=\frac{120}{80}=1.5$$

$\alpha =0.10$，$2m=16$，$2n=12$。 $F_{0.95}(16,12)=2.56$， $F_{0.05}(16,12)=1/F_{0.95}(12,16)=1/2.42=0.413$。

拒绝域为 $\{F⩽0.413\}\cup \{F⩾2.56\}$。

$0.413<1.5<2.56$，未落入拒绝域，故不拒绝 $H_0$。

结论：在 $\alpha =0.10$ 水平下，没有充分证据表明两个指数总体的均值参数不等。

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十一、教材原文

教材参考

本节内容对应茆诗松《概率论与数理统计》（第三版）第七章第三节”其他分布参数的假设检验”。

PDF 原文：00-Raw素材/概率论与统计/7.3_教材扫描_正文.pdf

卡方核心笔记：00-Raw素材/概率论与统计/7.3_卡方核心笔记_其他分布参数的假设检验.pdf

教材习题解答：00-Raw素材/概率论与统计/7.3_教材习题解答.pdf

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第七章 假设检验/其他分布检验